Дополните выражение до полного квадрата разности и запишите получившийся квадрат разности:
\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)^2-40st+25t^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle \color{red}{?}-40st+25t^{\,2}\)
является полным квадратом разности, и необходимо найти второй квадрат.
Следовательно,
\(\displaystyle \color{red}{?}-40st+25t^{\,2}=(a-b\,)^2,\)
\(\displaystyle \color{red}{?}-40st+25t^{\,2}=\color{red}{a^{\,2}}-2ab+b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 25t^{\,2}=5^2t^{\,2}=(5t\,)^2,\) и поэтому нам известен один квадрат и удвоенное произведение:
\(\displaystyle (5t\,)^2=b^{\,2},\)
\(\displaystyle 40st=2ab,\)
но неизвестен второй квадрат
\(\displaystyle \color{red}{?}=a^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Из того, что \(\displaystyle b^{\,2}=(5t\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle b=5t\) или \(\displaystyle b=-5t.\)
Если \(\displaystyle b=5t,\) то, подставляя вместо \(\displaystyle b\) в равенство \(\displaystyle 40st=2ab,\) получаем:
\(\displaystyle 40st=2\cdot a \cdot 5t,\)
\(\displaystyle 40st=10at,\)
\(\displaystyle a=\frac{40st}{10t},\)
\(\displaystyle a=4s.\)
Поэтому недостающий квадрат равен
\(\displaystyle \color{red}{?}=(4s\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{red}{?}-40st+25t^{\,2}=\color{red}{(4s\,)^2}-40st+25t^{\,2}\)
и
\(\displaystyle ({\bf 4s}\,)^2-40st+25t^{\,2}=({\bf 4s-5t}\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 4s}\,)^2-40st+25t^{\,2}=({\bf 4s-5t}\,)^2.\)