Считая параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительными, дополните выражение удвоенным произведением так, чтобы получился полный квадрат разности положительных чисел, и запишите его:
\(\displaystyle 25x^{\, 2}-\)\(\displaystyle +\,49y^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle 25x^{\,2}-\,\color{red}{?}+49y^{\,2}\)
является полным квадратом разности, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle 25x^{\,2}-\,\color{red}{?}+49y^{\,2}=(a-b\,)^2,\)
\(\displaystyle 25x^{\,2}-\,\color{red}{?}+49y^{\,2}=a^{\,2}-\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 25x^{\,2}=5^2x^{\,2}=(5x\,)^2\) и \(\displaystyle 49y^{\,2}=7^2y^{\,2}=(7y\,)^2.\) Поэтому нам известны квадраты
\(\displaystyle a^{\,2}=25x^{\,2}\) или \(\displaystyle a^{\,2}=(5x\,)^2,\)
\(\displaystyle b^{\,2}=49y^{\,2}\) или \(\displaystyle b^{\,2}=(7y\,)^2,\)
но неизвестно удвоенное произведение
\(\displaystyle 2ab=\,\color{red}{?}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{5x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-5x},\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{7y}\) или \(\displaystyle \color{green}{-7y}.\)
Поскольку параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительны и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{5x},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{7y}.\)
Тогда
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 5x\cdot 7y,\)
\(\displaystyle 2ab=70xy.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 25x^{\,2}-\,\color{red}{?}+49y^{\,2}=25x^{\,2}-\color{red}{70xy}+49y^{\,2}\)
и
\(\displaystyle 25x^{\,2}-{\bf 70xy}+49y^{\,2}=({\bf 5x-7y}\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle 25x^{\,2}-{\bf 70xy}+49y^{\,2}=({\bf 5x-7y}\,)^2.\)