Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 49u^{\,2}=7^2u^{\,2}=(7u\,)^2\) и \(\displaystyle 4w^{\,2}=2^2w^{\,2}=(2w\,)^2.\)
Далее распишем \(\displaystyle 28uw\) как удвоенное произведение:
\(\displaystyle 28uw=2\cdot 7u \cdot 2w.\)
Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(7u\,)^2-2\cdot 7u \cdot 2w+(2w\,)^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=2w\):
\(\displaystyle (7u\,)^2-2\cdot 7u \cdot 2w+(2w\,)^2=(7u-2w\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(7u-2w\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (7u-2w\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадрату и удвоенному произведению).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
и
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(a-b\,)^2\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 49u^{\,2}=7^2u^{\,2}=(7u\,)^2\) и \(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(7u\,)^2-28uw+4w^{\, 2}.\)
Если \(\displaystyle a^{\,2}=(7u\,)^2,\) то \(\displaystyle a=7u\) или \(\displaystyle a=-7u\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем вариант со знаком плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)), то есть \(\displaystyle a=7u.\)
Перепишем наше равенство
\(\displaystyle (7u\,)^2-28uw+4w^{\, 2}=\color{blue}{a}^{\, 2}-2\color{blue}{a}b+b^{\, 2},\)
подставляя вместо \(\displaystyle \color{blue}{a}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{7u}\):
\(\displaystyle (7u\,)^2-28uw+4w^{\, 2}=\color{blue}{(7u\,)}^2-2\cdot\color{blue}{7u}\cdot b+b^{\, 2}.\)
В выражении слева с параметром \(\displaystyle u\) стоит слагаемое \(\displaystyle 28uw,\) а справа – \(\displaystyle 2\cdot 7u\cdot b.\) Приравняем их:
\(\displaystyle 28uw=2\cdot 7u\cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{28uw}{2\cdot 7u},\)
\(\displaystyle b=2w.\)
Таким образом, \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=2w.\) Подставляя в равенство \(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(a-b\,)^2,\) получаем, что
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(7u-2w\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (7u-2w\,)^2.\)