Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 9z^{\,2}=3^2z^{\,2}=(3z\,)^2\) и \(\displaystyle 25=5^2.\)
Далее распишем \(\displaystyle 30z\) как удвоенное произведение:
\(\displaystyle 30z=2\cdot 3z \cdot 5.\)
Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z\,)^2-2\cdot 3z \cdot 5+5^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=5\):
\(\displaystyle (3z\,)^2-2\cdot 3z \cdot 5+5^2=(3z-5)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z-5)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (3z-5)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадрату и удвоенному произведению).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
и
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(a-b\,)^2\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 9z^{\,2}=3^2z^{\,2}=(3z\,)^2\) и поэтому \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z\,)^2-30z+25.\)
Если \(\displaystyle a^{\,2}=(3z\,)^2,\) то \(\displaystyle a=3z\) или \(\displaystyle a=-3z\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем вариант со знаком плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)), то есть \(\displaystyle a=3z.\)
Перепишем наше равенство
\(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=\color{blue}{a}^{\, 2}-2\color{blue}{a}b+b^{\, 2},\)
подставляя вместо \(\displaystyle \color{blue}{a}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{3z}\):
\(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=\color{blue}{(3z\,)}^2-2\cdot\color{blue}{3z}\cdot b+b^{\, 2}.\)
В выражении слева с параметром \(\displaystyle z\) стоит слагаемое \(\displaystyle 30z,\) а справа – \(\displaystyle 2\cdot 3z\cdot b.\) Приравняем их:
\(\displaystyle 30z=2\cdot 3z\cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{30z}{2\cdot 3z},\)
\(\displaystyle b=5.\)
Таким образом, \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=5.\) Подставляя в равенство \(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=(a-b\,)^2,\) получаем, что
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z-5)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (3z-5)^2.\)