Дополните выражение до полного квадрата суммы и запишите квадрат суммы:
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\big(\)\(\displaystyle \big)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}\)
является полным квадратом суммы, и необходимо найти второй квадрат.
Следовательно,
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=(a+b\,)^2,\)
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=a^{\,2}+2ab+\color{red}{b^{\,2}}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Нам известен один квадрат и удвоенное произведение:
\(\displaystyle (3x\,)^2=a^{\,2},\)
\(\displaystyle 6xy=2ab,\)
но неизвестен второй квадрат
\(\displaystyle \color{red}{?}=b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Из того, что \(\displaystyle a^{\,2}=(3x\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle a=3x\) или \(\displaystyle a=-3x.\)
Если \(\displaystyle a=3x,\) то, подставляя вместо \(\displaystyle a\) в равенство \(\displaystyle 6xy=2ab,\) получаем:
\(\displaystyle 6xy=2\cdot 3x\cdot b,\)
\(\displaystyle 6xy=6xb,\)
\(\displaystyle b=\frac{6xy}{6x},\)
\(\displaystyle b=y.\)
Поэтому недостающий квадрат равен
\(\displaystyle \color{red}{?}=y^{\,2}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=(3x\,)^2+6xy+\color{red}{y^{\,2}}\)
и
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+y^{\,2}=(3x+y\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+y^{\,2}=(3x+y\,)^2.\)