Skip to main content

Теория: Дополнение до полного квадрата суммы - 1

Задание

Считая параметр \(\displaystyle x\) положительным, дополните выражение удвоенным произведением  так, чтобы получился полный квадрат суммы положительных чисел, и запишите его:
 

\(\displaystyle x^{\,2}+\)\(\displaystyle +10^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle x^{\,2}+\,\color{red}{?} +10^2\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle x^{\,2}+ \,\color{red}{ ?}+10^2=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle x^{\,2}+\, \color{red}{ ?}+10^2=a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известны квадраты

\(\displaystyle a^{\, 2}=x^{\, 2},\)

\(\displaystyle b^{\, 2}=10^{\, 2},\)

но неизвестно удвоенное произведение

\(\displaystyle 2ab=\, \color{red}{ ?}\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-x},\)  \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{10}\) или \(\displaystyle \color{green}{-10}.\)

Поскольку параметр \(\displaystyle x\) положителен и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{x},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{10}.\)

Поэтому

\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot 10,\)

\(\displaystyle 2ab=20x.\)

Таким образом,

\(\displaystyle x^{\,2}+\, \color{red}{ ?}+10^2=x^{\,2}+20x+10^2\)

и

\(\displaystyle x^{\,2}+20x+10^2=(x+10)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle x^{\,2}+20x+10^2=(x+10)^2.\)