Найдите произведение выражений, используя формулу разности квадратов:
\(\displaystyle \Big(z+(4x-7y\,)\Big) \Big(z+(7y-4x\,)\Big)=\)\(\displaystyle ^2\, - \, \big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Приведем наше выражение к формуле разности квадратов. Перепишем вторые скобки так, чтобы внутри появился знак минус. Для этого вынесем минус за скобки у выражения \(\displaystyle (7y-4x\,)\):
\(\displaystyle (7y-4x\,)=-(-7y+4x\,)=-(4x-7y\,).\)
Тогда
\(\displaystyle \Big(z+(4x-7y\,)\Big)\Big(z+(7y-4x\,)\Big)=\Big(z+(4x-7y\,)\Big) \Big(z-(4x-7y\,)\Big).\)
Применим формулу "разность квадратов" к нашему выражению.
Разность квадратов
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)(a-b\,)=a^{\, 2}-b^{\, 2}.\)
В нашем случае \(\displaystyle a=z\) и \(\displaystyle b=(4x-7y\,)\):
\(\displaystyle \Big(z+(4x-7y\,)\Big) \Big(z-(4x-7y\,)\Big)=z^{\,2}-(4x-7y\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle \Big(z+(4x-7y\,)\Big)\Big(z+(7y-4x\,)\Big)=z^{\,2}-(4x-7y\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle z^{\,2}-(4x-7y\,)^2.\)
В ходе решения мы преобразовывали вторые скобки \(\displaystyle \Big(z+(7y-4x\,)\Big)\) для получения знака минус внутри.
Другой вариант решения заключается в получения знака минус внутри первых скобок.
Для этого вынесем минус за скобки у выражения \(\displaystyle (4x-7y\,)\):
\(\displaystyle (4x-7y\,)=-(-4x+7y\,)=-(7y-4x\,).\)
Тогда
\(\displaystyle \Big(z+(4x-7y\,)\Big)\Big(z+(7y-4x\,)\Big)=\Big(z-(7y-4x\,)\Big) \Big(z+(7y-4x\,)\Big).\)
Применяя формулу "разность квадратов" к выражению и считая, что \(\displaystyle a=z\) и \(\displaystyle b=(7y-4x\,),\) получаем:
\(\displaystyle \Big(z-(7y-4x\,)\Big) \Big(z+(7y-4x\,)\Big)=z^{\,2}-(7y-4x\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle \Big(z+(4x-7y\,)\Big)\Big(z+(7y-4x\,)\Big)=z^{\,2}-(7y-4x\,)^2,\)
и \(\displaystyle z^{\,2}-(7y-4x\,)^2\) также является правильным ответом.