Используя метод подстановки, решите систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}},\\ &{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
\(\displaystyle x=\)
Дана система линейных уравнений:
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}}{\small ,}\\ &{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
Для того чтобы воспользоваться методом подстановки, надо выразить одну из переменных через другую.
Используем первое уравнение системы, чтобы выразить переменную \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{array}{c} \frac{5}{7}x-5y=-\frac{23}{14}{\small ,}\\[10px] \frac{5}{7}x=5y-\frac{23}{14}{\small ,}\\[10px] \left(\frac{5}{7}x\right):\frac{5}{7}=\left(5y-\frac{23}{14}\right):\frac{5}{7}{\small ,}\\[10px] x=\left(5y-\frac{23}{14}\right)\cdot \frac{7}{5}{\small ,}\\[10px] x=\left(5\cdot \frac{7}{5}\right)y-\frac{23}{14}\cdot \frac{7}{5}{\small ,}\\[10px] x=7y-\frac{23}{10} {\small .}\end{array}\)
Далее, в исходной системе
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &\color{blue}{{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}}}{\small ,}\\ &{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}} \end{aligned} \end{array}\)
заменим первое уравнение \(\displaystyle \color{blue}{{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}}}\) на \(\displaystyle \color{green}{x=7y-\frac{23}{10}}{\small .}\) Тогда:
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &\color{green}{x=7y-{\small \frac{23}{10}}}{\small ,}\\ &{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
Теперь, так как известно, что \(\displaystyle \color{green}{x}=\color{green}{7y-\frac{23}{10}}{\small ,}\) то во втором линейном уравнении можно вместо \(\displaystyle \color{green}{x}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{7y-\frac{23}{10}}\) (метод подстановки):
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &\color{green}{x}=\color{green}{7y-{\small \frac{23}{10}}}{\small ,}\\ &{\small \frac{2}{3}}\cdot \left(\color{green}{7y-{\small \frac{23}{10}}}\right)+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
Получаем систему, в которой второе уравнение – это линейное уравнение от одной переменной \(\displaystyle y\,{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small .}\)
Решим его, чтобы найти \(\displaystyle y\,{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{array}{c} \frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px] \left(\frac{2}{3}\cdot 7\right)y-\frac{2}{3}\cdot\frac{23}{10}+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px] \frac{14}{3}y-\frac{23}{15}+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px] \frac{14}{3}y+\frac{1}{2}y=\frac{23}{15}+\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px] \frac{31}{6}y=\frac{31}{15}{\small ,}\\[10px] y=\frac{31}{15}:\frac{31}{6}{\small ,}\\[10px] y=\frac{31}{15}\cdot\frac{6}{31}{\small ,}\\[10px] y=\frac{2}{5} {\small .}\end{array}\)
Далее в системе
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &x=7y-{\small \frac{23}{10}}{\small }{\small ,}\\ &\color{blue}{{\small \frac{2}{3}}\cdot \left(7y-{\small \frac{23}{10}}\right)+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}} \end{aligned} \end{array}\)
второе линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}{\frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}}\) заменяем на \(\displaystyle \color{green}{y=\frac{2}{5}}{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &x=7y-{\small \frac{23}{10}}{\small ,}\\ &\color{green}{y={\small \frac{2}{5}}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
Снова применим метод подстановки – в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle y\) подставим число \(\displaystyle {\bf \frac{2}{5}}{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &x=7\cdot {\bf {\small \frac{2}{5}}}-{\small \frac{23}{10}}{\small ,}\\ &y={\small \frac{2}{5}} \end{aligned} \end{array}\)
или
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{5}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &x={\small \frac{1}{2}}{\small ,}\\ &y={\small \frac{2}{5}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle x=\frac{1}{2}{\small ,}\;y=\frac{2}{5}{\small .}\)