Решите уравнение (если корней два или более, то в ответ запишите наименьший из них):
\(\displaystyle \log_2(8+4x)=\log_2(30+2x)-\log_2 3{\small .}\)
\(\displaystyle x=\)
Сначала решим уравнение \(\displaystyle \log_2(8+4x)=\log_2(30+2x)-\log_2 3{\small ,}\) а затем сделаем проверку.
Представим обе части уравнения в виде логарифмов по одинаковому основанию.
По свойствам логарифма
\(\displaystyle \log _{2}(30+2x)-\log _{2} 3=\log_2 \frac{30+2x}{3}{\small .}\)
Тогда уравнение \(\displaystyle \log_{2}(8+4x)=\log_2 (30+2x)-\log_{2}3\) можно переписать как
\(\displaystyle \log _{2}(8+4x)=\log_2 \frac{30+2x}{3}{\small .}\)
В обеих частях стоят логарифмы по одинаковому основанию. Такие логарифмы равны, если равны их аргументы:
\(\displaystyle 8+4x=\frac{30+2x}{3} {\small .}\)
Умножим обе части на \(\displaystyle 3\) и решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle 3(8+4x)=30+2x{\small ,}\)
\(\displaystyle 24+12x=30+2x{\small ,}\)
\(\displaystyle 10x=6{\small ,}\)
\(\displaystyle x=0{,}6{\small .}\)
Проверка: подставим \(\displaystyle x=0{,}6\) в исходное уравнение. Получаем:
\(\displaystyle \log_{2}(8+4\cdot 0{,}6)=\log_{2}(30+2\cdot{0{,}6})-\log_2 3{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_2 10{,}4=\log_2 31{,}2-\log_2 3{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_2 10{,}4=\log_2 \frac{31{,}2}{3}\) – верно.
Ответ: \(\displaystyle 0{,}6{\small .} \)