Решите уравнение:
\(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5{4}=2{\small .}\)
Сначала решим уравнение \(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_{5}4=2{\small ,}\) а затем сделаем проверку.
Представим обе части уравнения в виде логарифмов по одинаковому основанию.
Перепишем правую часть как логарифм по основанию \(\displaystyle 5{\small .}\)
По определению логарифма
\(\displaystyle 2=\log_5 5^2=\log_5 25{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5 4=\log_{5}25{\small .}\)
По свойствам логарифма
\(\displaystyle \log _{5}(x-10)-\log _{5} 4=\log_5 \frac{x-10}{4}{\small .}\)
Тогда уравнение \(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5 4=\log_{5}25\) можно переписать как
\(\displaystyle \log _{5}\frac{x-10}{4}=\log_5 25{\small .}\)
В обеих частях стоят логарифмы по одинаковому основанию. Такие логарифмы равны, если равны их аргументы:
\(\displaystyle \frac{x-10}{4}=25 {\small .}\)
Умножим обе части на \(\displaystyle 4\) и решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle x-10=100{\small ,}\)
\(\displaystyle x=110{\small .}\)
Проверка: подставим \(\displaystyle x=110\) в исходное уравнение. Получаем:
\(\displaystyle \log_{5}(110-10)-\log_{5}4=2{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_5 100-\log_5 4=2{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_5 \frac{100}{4}=\log_5 25\) – верно.
Ответ: \(\displaystyle 110{\small .} \)