Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \log_4 25 \, \log_5 16= \)
Заметим, что в выражении \(\displaystyle \log_4 25 \, \log_5 16\) подлогарифмическое выражение первого логарифма связано с основанием второго логарифма: \(\displaystyle 25=5^2{\small.}\)
Поменяем местами в первом логарифме основание и подлогарифмическое выражение, применив свойство:
\(\displaystyle \log_\color{red}a \color{blue}b= \frac{1}{\log_\color{blue}b \color{red}a}\)
\(\displaystyle (b>0, b \, \cancel= \,1, a>0,a \, \cancel= \,1)\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{4} 25=\frac{ 1}{\log_{25} 4}{\small.}\)
Тогда:
\(\displaystyle \log_4 25 \, \log_5 16=\frac{ 1}{\log_{25} 4}\cdot \log_{5} 16=\frac{ \log_{5} 16}{\log_{25} 4}{\small.}\)
Приведем логарифм \(\displaystyle \log_{25} 4\) к основанию \(\displaystyle 5:\)
\(\displaystyle \log_{25} 4= \log_{5^2} 4=\frac{1}{2} \log_5 4 {\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{ \log_{5} 16}{\log_{25} 4}=\frac{ \log_{5} 16}{\frac{1}{2} \log_5 4}=\frac{2 \log_{5} 16}{ \log_5 4}{\small.}\)
В полученном выражении \(\displaystyle \frac{2 \log_{5} 16}{ \log_5 4} \) два разных подлогарифмических выражения. Они связаны друг с другом:
\(\displaystyle 16=4^2{\small,}\)
то есть
\(\displaystyle \frac{ 2\log_{5} 16}{\log_{5} 4}=\frac{2\log_{5} 4^2}{\log_{5} 4} {\small.}\)
Вынесем показатель степени из-под логарифма, применив свойство:
\(\displaystyle \log_a b^{\color{red}k}=\color{red}k \log_a b\)
\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_5 4^{\color{red}2}=\color{red}2\log_5 4{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{ 2\log_{5} 4^2}{\log_{5} 4}=\frac{ 2\cdot 2\log_{5} 4}{\log_{5} 4}=\frac{ 4\log_{5} 4}{\log_{5} 4}{\small.}\)
Сократим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{ 4\, \cancel{\log_{5} 4}}{\cancel{\log_{5} 4}}=4{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \log_4 25 \, \log_5 16=\frac{ \log_{5} 16}{\log_{25} 4}=\frac{ \log_{5} 16}{\frac{1}{2} \log_5 4}=\frac{2 \log_{5} 16}{ \log_5 4}=\frac{2 \log_{5} 4^2}{ \log_5 4}=\frac{4\log_{5} 4}{ \log_5 4}=4{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 4 {\small.} \)