Skip to main content

Теория: 05 Смена основания и частное

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}= \)

Решение

Решение 1.

В условии \(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}\) два разных подлогарифмических выражения. Они связаны друг с другом:

\(\displaystyle 16=2^4{\small,}\)

то есть 

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4} {\small.}\)


Вынесем показатель степени из-под логарифма, применив свойство:

Правило

\(\displaystyle \log_a b^{\color{red}k}=\color{red}k \log_a b\)

\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1 )\)

Получаем:

\(\displaystyle \log_3 2^{\color{red}4}=\color{red}4\log_3 2 {\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4}=\frac{ \log_{3} 2}{4\log_{3} 2}{\small.}\)


Сократим полученную дробь:

\(\displaystyle \frac{ \cancel{\log_{3} 2}}{4\, \cancel{\log_{3} 2}}=\frac{1}{4}=0{,}25{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4}=\frac{ \log_{3} 2}{4\log_{3} 2}= \frac{1}{4}=0{,}25{\small .}\) 


Ответ: \(\displaystyle 0{,}25 {\small.} \)


Решение 2.

В выражении \(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}\) делятся логарифмы с одинаковыми основаниями.

Применим свойство логарифма – переход к новому основанию:

Правило

\(\displaystyle \frac{\log_\color{red}a \color{blue}b}{\log_\color{red}a \color{green}c}= \log_\color{green}c \color{blue}b\)

\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1, c>0, c \, \cancel= \,1 )\)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\log_{16} 2 {\small.}\)


Найдем значение полученного логарифма:

\(\displaystyle \log_{16} 2= \log_{2^4} 2=\frac{1}{4} \log_{2} 2=\frac{1}{4}=0{,}25{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\log_{16} 2=\log_{2^4} 2=\frac{1}{4} \log_{2} 2=\frac{1}{4}=0{,}25 {\small .}\) 


Ответ: \(\displaystyle 0{,}25 {\small.} \)