Найдите корень уравнения:
\(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5{\small .}\)
- если корень только один, то вторую ячейку оставьте пустой;
- если решений нет, то в первой ячейке поставьте символ \(\displaystyle \varnothing\)
Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5{\small .}\)
Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}4x+13&=(2x+5)^2{ \small ,}\\2x+5&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим первое уравнение в системе и проверим, какие из полученных решений удовлетворяют второму неравенству системы.
\(\displaystyle 4x+13=(2x+5)^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle 4x^2+16x+12=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle D=16^2-4\cdot 4\cdot 12=256-192=64=8^{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-16-\sqrt{64}}{2\cdot 4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-16+\sqrt{64}}{2 \cdot 4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=-3{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=-1{\small .}\)
Корень \(\displaystyle x=-3\) не удовлетворяет неравенству \(\displaystyle 2x+5\ge 0{ \small ,}\) так как
\(\displaystyle 2\cdot (-3)+5< 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle -1< 0{\small .}\)
Корень \(\displaystyle x=-1\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle 2x+5\ge 0{ \small ,}\) так как
\(\displaystyle 2\cdot (-1)+5\ge 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 3\ge 0{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle x=-1\) – решение иррационального уравнения.
Ответ: \(\displaystyle -1{\small .}\)