Найдите корень уравнения:
\(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\)
- если корень только один, то вторую ячейку оставьте пустой;
- если решений нет, то в первой ячейке поставьте символ \(\displaystyle \varnothing\)
Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{\small .}\)
Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-8x+15&=\left(-x^2+10x-25\right)^2{ \small ,}\\-x^2+10x-25&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle -x^2+10x-25\ge 0{ \small ,}\)
умножим неравенство на \(\displaystyle -1{\small ,}\)
\(\displaystyle x^2-10x+25\le 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}=10^2-4\cdot 1\cdot25 =0{ \small .}\)
\(\displaystyle x=\frac{10}{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=5{ \small .}\)
Решим неравенство \(\displaystyle x^2-10x+25\le 0\) методом интервалом.
Подставляя значения переменной из каждого интервала, получаем:
То есть неравенство \(\displaystyle x^2-10x+25\le 0\) имеет единственное решение \(\displaystyle x=5{ \small .}\)
Таким образом,
уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\) может иметь только единственное решение \(\displaystyle x=5{ \small .}\)
Проверим, является ли \(\displaystyle x=5\) корнем уравнения.
Подставим \(\displaystyle x=5\) в уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{ \small .}\)
\(\displaystyle \sqrt{5^2-8\cdot 5+15}=-5^2+10\cdot 5-25{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0=0{ \small ,}\)
верное равенство.
Значит, \(\displaystyle x=5\) корень уравнения \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 5{\small .}\)