1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small.}\)
\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}\right)^{\prime}=(2x-7)e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small.}\)
Воспользуемся правилом дифференцирования:
ПравилоПроизводная произведения
\(\displaystyle\left(\color{green}{f(x)}\cdot\color{blue}{g(x)}\right)^{\prime}=\left(\color{green}{f(x)}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{g(x)}+\color{green}{f(x)}\cdot\left(\color{blue}{g(x)}\right)^{\prime}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle\left(\color{green}{\left(x^2-7x+13\right)}\cdot\color{blue}{e^{x-4}}\right)^{\prime}=\left(\color{green}{x^2-7x+13}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{e^{x-4}}+\left(\color{green}{x^2-7x+13}\right)\cdot\left(\color{blue}{e^{x-4}}\right)^{\prime}{\small.}\)
Вычислим производную \(\displaystyle x^2-7x+13\):
\(\displaystyle \color{green}{\left(x^2-7x+13\right)^{\prime}=\left(x^2\right)^{\prime}-(7x)^{\prime}+(13)^{\prime}=2x-7{\small.}}\)
Получаем:
\(\displaystyle\color{green}{\left(x^2-7x+13\right)^{\prime}}\cdot{e^{x-4}}+{\left(x^2-7x+13\right)}\cdot\left({e^{x-4}}\right)^{\prime}=\color{green}{(2x-7)}\cdot{e^{x-4}}+{\left(x^2-7x+13\right)}\cdot\left({e^{x-4}}\right)^{\prime}{\small.}\)
Остается найти производную сложной функции \(\displaystyle e^{x-4}{\small.}\)
Сделаем это поэтапно, используя правило.
ПравилоПроизводная сложной функции
\(\displaystyle \left(h({g(x)})\right)^{\prime}=\color{red}{h^{\prime}(g)}\cdot (\color{blue}{g(x)})'{\small.}\)
Задача каждого этапа – свести вычисление производной функции \(\displaystyle h(g(x))\) к вычислению производной более простой функции \(\displaystyle g(x){\small.}\)
Этап 1. Обозначим \(\displaystyle h(g(x))=e^{x-4}{\small.}\) Тогда:
\(\displaystyle \boxed{h(\color{blue}{g(x)})=e^{\color{blue}{x-4}}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{ \begin{aligned}&h(x)=e^x\\&\color{blue}{g(x)=x-4}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(e^x)^{\prime}=e^x\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=e^{x-4}}\end{aligned}} \longrightarrow\)
\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left(e^{x-4}\right)^{\prime}=\color{red}{e^{x-4}}\cdot\left(\color{blue}{x-4}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)
Получили:
\(\displaystyle (2x-7){e^{x-4}}+\left(x^2-7x+13\right)\cdot\left({e^{x-4}}\right)^{\prime}=(2x-7){e^{x-4}}+\left(x^2-7x+13\right)\cdot\left({e^{x-4}}\right)\cdot(x-4)^{\prime}{\small.}\)
Переходим к вычислению производной более простой функции \(\displaystyle x-4{\small.}\)
Этап 2. Так как \(\displaystyle \left({x-4}\right)^{\prime}=(x)^{\prime}-(4)^{\prime}=1-0=1{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}(2x-7){e^{x-4}}+\left(x^2-7x+13\right){e^{x-4}}\cdot(x-4)^{\prime}=(2x-7){e^{x-4}}+\left(x^2-7x+13\right){e^{x-4}}\cdot1=\\[5px]=(2x-7){e^{x-4}}+\left(x^2-7x+13\right){e^{x-4}}{\small.}\end{aligned}\)
Таким образом, процесс взятия производной функции \(\displaystyle \left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}\) выглядит следующим образом:
\(\displaystyle \begin{aligned}&\left(\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}\right)^{\prime}=\left(\left(x^2-7x+13\right)\right)^{\prime}\cdot e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)\left(e^{x-4}\right)^{\prime}=\\[5px]&=(2x-7){e^{x-4}}+\left(x^2-7x+13\right)\cdot\left({e^{x-4}}\right)\cdot(x-4)^{\prime}=(2x-7){e^{x-4}}+\left(x^2-7x+13\right){e^{x-4}}{\small.}\end{aligned}\)
Упростим выражение \(\displaystyle (2x-7)e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small.}\)
Вынесем \(\displaystyle e^{x-4}\) за скобку, а затем приведем подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{aligned}(2x-7)e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}=\left(\color{red}{\underline{\color{black}{2x}}}-{\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{7}}}}}+\color{red}{\underline{\underline{\underline{\color{black}{x^2}}}}}-\color{red}{\underline{\color{black}{7x}}}+{\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{13}}}}}\right)e^{x-4}=\\[10px]=\left(\color{red}{\underline{\underline{\underline{\color{black}{x^2}}}}}-\color{red}{\underline{\color{black}{5x}}}+{\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{6}}}}}\right)e^{x-4}{\small.}\end{aligned}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle f^{\prime}(x)=(2x-7)e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}=\left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}{\small.}\)
2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)
Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}{\small,}\) то для этого необходимо решить уравнение
\(\displaystyle \left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}=0{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=2\) корни уравнения \(\displaystyle \left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}=0{\small.}\)
Если \(\displaystyle \left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}=0{\small,}\) то хотя бы один из множителей равен нулю:
\(\displaystyle e^{x-4}=0{\small,}\) решений нет. |
\(\displaystyle x^2-5x+6=0{ \small .}\)
Вычислим дискриминант: \(\displaystyle D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\)
и
\(\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{1}=1{\small.}\) Найдем корни уравнения: \(\displaystyle x_1=\frac{-(-5)+1}{2}=\frac{6}{2}=3{\small,}\) \(\displaystyle x_2=\frac{-(-5)-1}{2}=\frac{4}{2}=2{\small.}\) |
3) Отметим корни производной на числовой прямой, а также определим ее знаки на получившихся интервалах.
- на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,2)}\) и \(\displaystyle \color{Purple}{(3;\,+\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{(2;\, 3)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}\) на каждом из интервалов:
\(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,2)}{\small,}\) \(\displaystyle \color{blue}{(2;\, 3)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(3;\, +\infty)}{\small.}\)
Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции.
Учитывая то, что \(\displaystyle e \) в любой степени больше нуля, получаем:
- для \(\displaystyle \color{green}{x=1\in(-\infty;\,2)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{green}{1})=(1^2-5\cdot1+6)e^{1-4}=(1-5+6)e^{-3}\color{red}{>}0{\small ;}\)
- для \(\displaystyle \color{blue}{x=2{,}5\in(2;\, 3)}\) знак
\(\displaystyle f^{\prime}(\color{blue}{2{,}5})=(2{,}5^2-5\cdot2{,}5+6)e^{2{,}5-4}=(6{,}25-12{,}5+6)e^{1{,}5}\color{red}{<}0{\small ;}\)
- для \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=4\in(3;\, +\infty)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\textcolor{Purple}{4})=(4^2-5\cdot4+6)e^{4-4}=16-20+6\textcolor{red}{>}0{\small.}\)
Значит,
- на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,2)}\) и \(\displaystyle \color{Purple}{(3;\,+\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{(2;\, 3)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)
Отмечая знаки производной на картинке, получаем:
4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small ,}\) пользуясь правилом.
ПравилоЕсли для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Значит, \(\displaystyle x=2\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small.}\)
А \(\displaystyle x=3\) – точка минимума.
5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[0;\,4\right]\) достигается наибольшее значение.
Отметим на картинке интервал \(\displaystyle \left[0;\,4\right]{\small:}\)
Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[0;\,4\right]\) функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наибольшего значения либо в точке максимума \(\displaystyle \color{green}{x={2}}{\small,}\) либо на правом конце \(\displaystyle \color{blue}{x=4}{\small.}\)
Вычислим значения в этих точках и сравним их:
\(\displaystyle f\left(\color{green}{2}\right)=(2^2-7\cdot2+13)e^{2-4}=(4-14+13)\cdot e^{-2}={3e^{-2}}=\color{green}{\frac{3}{e^2}}{\small,}\)
\(\displaystyle f(\color{blue}{4})=(4^2-7\cdot4+13)e^{4-4}=16-28+13=\color{blue}{1}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle e>2{\small,}\) то
\(\displaystyle \color{green}{\frac{3}{e^2}}<\frac{3}{2^2}=\frac{3}{4}<\color{blue}{1}{\small.}\)
То есть \(\displaystyle f(\color{green}{2})<f(\color{blue}{4}){\small.}\)
Значит, наибольшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{blue}{x=4}\) и оно равно \(\displaystyle f(\color{blue}{4})=\color{blue}{1}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)