Теория: Максимум и минимум (показательные функции)

Воспользуемся правилом дифференцирования:

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\color{green}{(9-x)}\cdot\color{blue}{e^{x+9}}\right)^{\prime}&=\left(\color{green}{9-x}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{e^{x+9}}+(\color{green}{9-x})\cdot\left(\color{blue}{e^{x+9}}\right)^{\prime}=\\[5px]&=(-1)\cdot\color{blue}{e^{x+9}}+(\color{green}{9-x})\cdot\left(\color{blue}{e^{x+9}}\right)^{\prime}=-\color{blue}{e^{x+9}}+(\color{green}{9-x})\cdot\left(\color{blue}{e^{x+9}}\right)^{\prime}{\small.}\end{aligned}\)

Остается найти производную сложной функции \(\displaystyle e^{x+9}{\small.}\)

Сделаем это поэтапно, используя правило.

Задача каждого этапа – свести вычисление производной функции \(\displaystyle h(g(x))\) к вычислению производной более простой функции  \(\displaystyle g(x){\small.}\)

Этап 1. Обозначим \(\displaystyle h(g(x))=e^{x+9}{\small.}\) Тогда:

\(\displaystyle \boxed{h(\color{blue}{g(x)})=e^{\color{blue}{x+9}}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{ \begin{aligned}&h(x)=e^x\\&\color{blue}{g(x)=x+9}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(e^x)^{\prime}=e^x\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=e^{x+9}}\end{aligned}} \longrightarrow\)

\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left(e^{x+9}\right)^{\prime}=\color{red}{e^{x+9}}\cdot\left(\color{blue}{x+9}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)

Получили:

\(\displaystyle -{e^{x+9}}+({9-x})\cdot\left({e^{x+9}}\right)^{\prime}=-{e^{x+9}}+({9-x})\cdot\left({e^{x+9}}\right)\cdot(x+9)^{\prime}{\small.}\)

Переходим к вычислению производной более простой функции \(\displaystyle x+9{\small.}\)

Этап 2. Так как \(\displaystyle \left({x+9}\right)^{\prime}=(x)^{\prime}+(9)^{\prime}=1+0=1{\small,}\) получаем:

\(\displaystyle -{e^{x+9}}+({9-x}){e^{x+9}}\cdot(x+9)^{\prime}=-{e^{x+9}}+({9-x}){e^{x+9}}\cdot1=-{e^{x+9}}+({9-x}){e^{x+9}}{\small.}\)

Если \(\displaystyle (8-x)e^{x+9}=0{\small,}\) то хотя бы один из множителей равен нулю:

Определим знак функции \(\displaystyle f^{\prime}(x)=(8-x)e^{x+9}\) на каждом из интервалов:

\(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,8)}{\small,}\) \(\displaystyle \color{blue}{(8;\, +\infty)}{\small.}\)

Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции.

Учитывая то, что \(\displaystyle e \) в любой степени больше нуля, получаем:

• для \(\displaystyle \color{green}{x=0\in(-\infty;\,8)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{green}{0})=(8-0)e^{0+9}=8e^{9}\color{red}{>}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \color{blue}{x=10\in(8;\, +\infty)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{blue}{10})=(8-10)e^{10+9}=-2e^{19}\color{red}{<}0{\small ;}\)

Значит,

• на интервале \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,8)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
• на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{(8;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)