Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3{\small.}\)
Так как \(\displaystyle \ln((x+1)^{3})\) определен только тогда, когда \(\displaystyle (x+1)^{3}>0{\small,}\) то область определения имеет вид
\(\displaystyle x> -1{\small.}\)
1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3{\small.}\)
\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\)
Раскроем скобки. Производная суммы равна сумме производных.
То есть
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=\left(12x^2\right)^{\prime}+(6x)^{\prime}+\left(\ln(x+1)^{3}\right)^{\prime}=\\[5px]=24x+6+\left(\ln(x+1)^3\right)^{\prime}{\small.}\end{aligned}\)
Остается найти производную сложной функции \(\displaystyle \ln(x+1)^3{\small .}\)
Сделаем это поэтапно, используя правило.
ПравилоПроизводная сложной функции
\(\displaystyle \left(h({g(x)})\right)^{\prime}=\color{red}{h^{\prime}(g)}\cdot (\color{blue}{g(x)})'{\small.}\)
Задача каждого этапа – свести вычисление производной функции \(\displaystyle h(g(x))\) к вычислению производной более простой функции \(\displaystyle g(x){\small.}\)
Этап 1. Обозначим \(\displaystyle h(g(x))=\ln(x+1)^3{\small.}\) Тогда:
\(\displaystyle\boxed{\begin{aligned}h(\color{blue}{g(x)})=\ln\color{blue}{(x+1)^3}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{ \begin{aligned}&h(x)=\ln(x)\\&\color{blue}{g(x)=(x+1)^3}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(\ln(x))^{\prime}=\frac{1}{x}\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=\frac{1}{(x+1)^3}}\end{aligned}} \longrightarrow\)
\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left(\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=\color{red}{\frac{1}{(x+1)^3}}\cdot\left(\color{blue}{(x+1)^3}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)
Получили:
\(\displaystyle 24x+6+\left(\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=24x+6+{\frac{1}{(x+1)^3}}\cdot\left({(x+1)^3}\right)^{\prime}{\small.}\)
Переходим к вычислению производной более простой функции \(\displaystyle (x+1)^3{\small.}\)
Этап 2. Обозначим \(\displaystyle h(g(x))=(x+1)^3{\small.}\) Тогда:
\(\displaystyle \begin{aligned}\boxed{h(\color{blue}{g(x)})=(\color{blue}{x+1})^3}\end{aligned} \longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h(x)=x^3\\&\color{blue}{g(x)=x+1}\end{aligned}} \longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(x^3)^{\prime}=3x^2\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=3(x+1)^2}\end{aligned}} \longrightarrow\)
\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left((x+1)^3\right)^{\prime}=\color{red}{3(x+1)^2}\cdot\left(\color{blue}{x+1}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)
Получили:
\(\displaystyle 24x+6+{\frac{1}{(x+1)^3}}\cdot\left({(x+1)^3}\right)^{\prime}=24x+6+\frac{1}{(x+1)^3}\cdot{3(x+1)^2}\cdot\left({x+1}\right)^{\prime}{\small.}\)
Переходим к вычислению производной более простой функции \(\displaystyle x+1{\small.}\)
Этап 3. Так как \(\displaystyle \left({x+1}\right)^{\prime}=(x)^{\prime}+(1)^{\prime}=1+0=1{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}24x+6+\frac{1}{(x+1)^3}\cdot{12(x+1)^2}\cdot\left({x+1}\right)^{\prime}=24x+6+\frac{1}{(x+1)^3}\cdot{3(x+1)^2}\cdot1=\\[5px]=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\end{aligned}\)
Таким образом, процесс взятия производной функции \(\displaystyle 12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3 \) выглядит следующим образом:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3\right)^{\prime}&=24x+6+\left(\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=24x+6+\frac{1}{(x+1)^3}\cdot\left((x+1)^3\right)^{\prime}=\\[5px]&=24x+6+\frac{1}{(x+1)^3}\cdot3(x+1)^2\cdot(x+1)^{\prime}=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\end{aligned}\)
2) Найдем интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\)
\(\displaystyle \left(-1;\,-\frac{3}{4}\right){\small,}\) \(\displaystyle \left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right){\small,}\) \(\displaystyle {\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}\) – интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\)
Перепишем функцию в виде дроби:
\(\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)=24x+6+\frac{3}{x+1}=\frac{(24x+6)\cdot(x+1)+3}{x+1}=\frac{24x^2+24x+6x+6+3}{x+1}=\\[5px]=\frac{24x^2+30x+9}{x+1}{\small.}\end{aligned}\)
Найдем корни числителя этого рационального выражения.
Приравняем числитель к \(\displaystyle 0{\small:}\)
\(\displaystyle 24x^2+30x+9=0\,|\,:\,3{\small ,}\)
\(\displaystyle 8x^2+10x+3=0{\small .}\)
Решим данное квадратное уравнение.
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle D=10^2-4\cdot 8\cdot 3=100-96=4\)
и
\(\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{4}=2{\small.}\)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{-10+2}{2\cdot8}=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-10-2}{2\cdot8}=\frac{-12}{16}=-\frac{3}{4}{\small.}\)
Теперь найдем корни знаменателя рационального выражения \(\displaystyle \frac{2x^2+10x+12}{x+1}{\small:}\)
\(\displaystyle x+1=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=-1{\small.}\)
Отметим корни числителя и знаменателя производной на числовой прямой. Учитывая область определения исходной функции \(\displaystyle x>-1{\small,}\) получаем:
Таким образом, интервалы знакопостоянства производной:
\(\displaystyle \left(-1;\,-\frac{3}{4}\right){\small,}\) \(\displaystyle \left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right){\small,}\) \(\displaystyle {\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}{\small.}\)
3) Определим знаки производной на получившихся интервалах.
- на интервалах \(\displaystyle \color{green}{\left(-1;\, -\frac{3}{4}\right)}\) и \(\displaystyle \color{Purple}{\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f^{\prime}(x)=24x+6+\frac{3}{x+1}\) на каждом из интервалов:
\(\displaystyle \color{green}{\left(-1;\, -\frac{3}{4}\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \color{blue}{\left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}{\small.}\)
Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции. Получаем:
для \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{5}{6} \in{\left(-1;\,-\frac{3}{4}\right)}}\) знак
\(\displaystyle f^{\prime}\left(\color{green}{-\frac{5}{6}}\right)=24\cdot\left(-\frac{5}{6}\right)+6+\frac{3}{-\frac{5}{6}+1}=-20+6+18\color{red}{>}0{\small ;}\)для \(\displaystyle \color{blue}{x=-\frac{5}{8} \in \left(-\frac{3}{4};\, -\frac{1}{2}\right)}\) знак
\(\displaystyle f^{\prime}\left(\color{black}{-\frac{5}{8}}\right)=24\cdot\left(-\frac{5}{8}\right)+6+\frac{3}{-\frac{5}{8}+1}=-15+6+8\color{red}{<}0{\small ;}\)- для \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=0 \in{\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\textcolor{Purple}{0})=24\cdot0+6+\frac{3}{0+1}=6+3\color{red}{>}0{\small .}\)
Значит,
- на интервалах \(\displaystyle \color{green}{\left(-1;\, -\frac{3}{4}\right)}\) и \(\displaystyle \color{Purple}{\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)
Отмечая знаки производной на картинке, получаем:
4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3{\small ,}\) пользуясь правилом.
ПравилоЕсли для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Точки \(\displaystyle x=-\frac{3}{4}\) и \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) принадлежат области определения \(\displaystyle f(x){\small.}\)
Значит, \(\displaystyle x=-\frac{3}{4}\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3{\small.}\)
А точка \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) – точка минимума.
5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[-0{,}9;\,0\right]\) достигается наибольшее значение.
Отметим на картинке интервал \(\displaystyle \left[-0{,}9;\,0\right]{\small:}\)
Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[-0{,}9;\,0\right]\) функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наибольшего значения либо в точке максимума \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{3}{4}}{ \small ,}\) либо на правом конце \(\displaystyle \color{blue}{x=0}{\small.}\)
Вычислим значения в этих точках и сравним их:
\(\displaystyle \begin{aligned}&f\left(\color{green}{-\frac{3}{4}}\right)=12\left(-\frac{3}{4}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-6+\ln\left(-\frac{3}{4}+1\right)^3=\\[10px]=&6{,}75-4{,}5-6+\ln \left(\frac{1}{4}\right)^3=-3{,}75+\ln \left(\frac{1}{4}\right)^3=-3{,}75+\ln \left(4\right)^{-3}=\color{green}{-3{,}75-3\ln 4}{\small,}\end{aligned}\)
\(\displaystyle f(\color{blue}{0})=12\cdot0^2+6\cdot0-6+\ln(0+1)^3=-6+\ln1=-6+0=\color{blue}{-6}{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle 4>e{\small,}\) то и \(\displaystyle \ln 4 > 1 {\small,}\) значит,
\(\displaystyle \color{green}{-3{,}75-3\ln 4}<-3{,}75-3\cdot1=-6{,}75<\color{blue}{-6}{\small.}\)
То есть \(\displaystyle f\left(\color{green}{-\frac{3}{4}}\right)<f(\color{blue}{0}){\small.}\)
Значит, наибольшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{blue}{x=0}\) и оно равно \(\displaystyle f(\color{blue}{0})=\color{blue}{-6}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -6{\small.}\)