На рисунке изображен график производной функции \(\displaystyle y = f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (-11; 11){\small .}\) Найдите количество точек экстремума функции \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [-10; 10]{\small .}\)
В условии задачи требуется найти количество точек экстремума на отрезке \(\displaystyle [-10;\, 10 ]{\small.}\)
Поэтому далее будем рассматривать график \(\displaystyle y=f^{\prime}(x)\) только на отрезке \(\displaystyle [-10;\, 10 ]{\small:}\)
1. Отметим на рисунке точки в которых график пересекает ось \(\displaystyle \rm OX {\small:}\)
Получаем, что \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0\) в точке \(\displaystyle x=3{\small.}\)
2. График разбился на интервалы, где \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)> 0\) и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)< 0{\small :}\)
На интервалах \(\displaystyle (-10;\,-6){\small,}\) \(\displaystyle (-2;\,2){\small,}\) \(\displaystyle (6;\,9)\) производная отрицательна, на интервалах \(\displaystyle (-6;\,-2){\small,}\) \(\displaystyle (2;\,6){\small,}\) \(\displaystyle (9;\,10)\) положительна.
3. Определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)
| Интервалы | Знак производной | Поведение функции |
| \(\displaystyle (-10;\,-6){\small,}\) \(\displaystyle (-2;\,2){\small,}\) \(\displaystyle (6;\,9)\) | \(\displaystyle \color{blue}{f^{\prime}(x)<0}\) | \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \color{blue}{\searrow}\) |
| \(\displaystyle (-6;\,-2){\small,}\) \(\displaystyle (2;\,6){\small,}\) \(\displaystyle (9;\,10)\) | \(\displaystyle \color{green}{f^{\prime}(x)>0}\) | \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \color{green}{\nearrow}\) |
4. Схематично изобразим \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [-2;\, 6 ]{\small:}\)
Получаем три точки минимума и две точки максимума. Итого \(\displaystyle 5\) точек экстремума.
Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)