На рисунке изображен график производной функции \(\displaystyle y = f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (-4; 16){\small .}\) Найдите количество точек максимума функции \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [0; 13]{\small .}\)
В условии задачи требуется найти количество точек максимума на отрезке \(\displaystyle [0; 13]{\small.}\)
Поэтому далее будем рассматривать график \(\displaystyle y=f^{\prime}(x)\) только на отрезке \(\displaystyle [0;\, 13 ]{\small:}\)
1. Отметим на рисунке точки, в которых график пересекает ось \(\displaystyle \rm OX{\small:}\)
Получаем, что \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0\) в точках \(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=7{\small.}\)
2. График разбился на интервалы, где \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)> 0\) и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)< 0{\small :}\)
На интервалах \(\displaystyle (0;\,3)\) и \(\displaystyle (7;\,13)\) производная положительна, на интервале \(\displaystyle (3;\, 7)\) производная отрицательна.
3. Определим промежутки возрастания убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)
| Интервалы | Знак производной | Поведение функции |
| \(\displaystyle (0;\,3){\small,}\) \(\displaystyle (7;\,13)\) | \(\displaystyle \color{green}{f^{\prime}(x)>0}\) | \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \color{green}{\nearrow}\) |
| \(\displaystyle (3;\, 7)\) | \(\displaystyle \color{blue}{f^{\prime}(x)<0}\) | \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \color{blue}{\searrow}\) |
4. Схематично изобразим \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [0; 13]{\small:}\)
Точка \(\displaystyle x=3\) – единственная точка максимума функции \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [0; 13]{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)