На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y = f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (−9; 8){\small .}\) Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Вспомним зависимость между поведением функции и знаком производной:
| Поведение функции | Знак производной |
| Если функция возрастает, | то \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\geqslant 0\) |
| Если функция убывает, | то \(\displaystyle f^{\prime}(x_0) \leqslant 0\) |
Кроме того, производная равна нулю, если касательная параллельна оси \(\displaystyle \rm OX{\small.}\)
Поэтому разобьем график функции на промежутки возрастания и убывания, отметив с помощью касательной точки, в которых производная равна нулю.
Отметим на графике точки, в которых касательная параллельна оси \(\displaystyle \rm OX{\small:}\)
График разбился на промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Значит, внутри отмеченных на рисунке интервалов возрастания \(\displaystyle f(x)\) производная положительна.
Остается найти количество целых точек, лежащих внутри интервалов возрастания функции \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Получаем \(\displaystyle 10\) точек.
Ответ: \(\displaystyle 10{\small.}\)