Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 207^\circ}=\)
В данном выражении \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 207^\circ}\) два разных угла.
Найдем между ними взаимосвязь: у них может быть хорошая сумма или хорошая разность (то есть равная \(\displaystyle 90^ \circ,\) \(\displaystyle 180^ \circ,\) \(\displaystyle 270^ \circ,\) \(\displaystyle 360^ \circ\) и т.п.).
В нашем случае у углов хорошая разность: \(\displaystyle 207^ \circ-27^ \circ=\color{blue}{180^ \circ}{\small.}\)
Отсюда: \(\displaystyle \color{blue}{207^ \circ=180^ \circ+27^ \circ} {\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 \color{blue}{207^\circ}}=\frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 (\color{blue}{180^\circ+27^\circ})}{\small.}\)
Получилась формула приведения. Применим ее.
1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle 180^\circ+27^\circ {:}\)
Значит, угол \(\displaystyle 180^\circ+27^\circ \) находится в третьей четверти.
2. Определим знак исходной функции.
В третьей четверти косинус отрицательный (\(\displaystyle {\bf -}\)).
3. Определим, какая будет функция.
Так как к аргументу \(\displaystyle 27^\circ\) прибавляем \(\displaystyle 180^\circ, \) то функция не меняется.
Значит,
\(\displaystyle \cos(180^\circ+27^\circ)=-\cos27^\circ{\small.}\)
Тогда:
\(\displaystyle \cos^2 (180^\circ+27^\circ)=(\color{blue}{\cos(180^\circ+27^\circ)})^2 =(\color{blue}{-\cos 27^\circ})^2=\cos^2 27^\circ\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \color{blue}{\cos^2 (180^\circ+27^\circ})}=\frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \color{blue}{\cos^2 27^\circ}}{\small.}\)
Используем формулу
\(\displaystyle \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1 \)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{12}{ \color{blue}{\sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}}=\frac{12}{\color{blue}1}=12{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 207^\circ}=\frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 (180^\circ+27^\circ)}=\frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}=\frac{12}{1}=12{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 12 {\small.} \)