Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ -3x+9}{ x-3}\geqslant -x{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle \frac{-3x+9}{x-3}\geqslant -x{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{-3x+9}{x-3}+x\geqslant 0{\small. } \)
Получаем следующее неравенство:
\(\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{x-3}\geqslant 0{\small. } \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-6x+9 \) и знаменателя \(\displaystyle x-3{\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x^2-6x+9=0{\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x-3=0{\small : } \)
\(\displaystyle x=3{\small.} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Поскольку \(\displaystyle x=3 \) обращает в ноль знаменатель, то он обозначается выколотым:
Получили два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-6x+9}{x-3}\) на каждом из интервалов.
Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим числитель дроби на множители, используя найденный корень.
То есть
\(\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2{\small .}\)
Перепишем исходное неравенство в виде
\(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{x-3}\geqslant 0{\small .} \)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{x-3}\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают граничные невыколотые точки (в данном случае таких точек нет), то
\(\displaystyle (3;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (3;+\infty){\small .}\)