Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-4}\geqslant \frac{ x-3}{ x-5}{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle \frac{x-2}{x-4}\geqslant \frac{x-3}{x-5}{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{x-2}{x-4}-\frac{x-3}{x-5}\geqslant 0{\small . } \)
Получаем следующее неравенство:
\(\displaystyle \frac{-2}{(x-4)(x-5)}\geqslant 0{\small. } \)
Найдем корни знаменателя \(\displaystyle (x-4)(x-5){\small : } \)
\(\displaystyle (x-4)(x-5)=0 { \small ,}\)
\(\displaystyle x-4=0 \) или \(\displaystyle x-5=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=4 \) или \(\displaystyle x=5{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=4\) и \(\displaystyle x=5\) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми точками:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;4){ \small ,} \, (4;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{ -2}{(x-4)(x-5) }\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают невыколотые граничные точки (таких точек в данном случае нет), то
\(\displaystyle (4;5)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (4;5){\small .}\)