Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{1}{ (x-3)^2 }< 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни знаменателя \(\displaystyle (x-3)^2{\small : } \)
\(\displaystyle (x-3)^2{\small , } \)
\(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3{\small .} \)
Знак неравенства строгий, поэтому точка на числовой прямой изображается выколотой:
Получили два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{ (x-3)^2 }\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;3)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{1}{ (0-3)^2 }>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;3){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)\(\displaystyle f(4)=\frac{1}{ (4-3)^2 }>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Решения неравенства \(\displaystyle \frac{1}{ (x-3)^2 }< 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна. Однако таких промежутков в данном случае нет, то есть
\(\displaystyle \varnothing\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in \varnothing{\small .}\)