Теңсіздікті шешіңізіңіз:
\(\displaystyle \frac{ x-1}{ x-2 }> 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Алым \(\displaystyle x-1 \) мен бөлгіштің \(\displaystyle x-2{\small } \) түбірлерін табыңыз.
\(\displaystyle x-1=0 \) немесе \(\displaystyle x-2=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=1 \) немесе \(\displaystyle x=2{\small .} \)
Теңсіздік таңбасы қатаң, сондықтан сан түзуіндегі алым мен бөлгіштің сәйкес түбірлерінің нүктелері түсірілген түрде бейнеленген:
Бізде үш аралық бар:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) және \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}\) функциясының таңбасын анықтайық.
- \(\displaystyle (-\infty;1)\) аралық үшін \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{0-1}{0-2}>0{\small}\)аралықта \(\displaystyle (-\infty;1){\small}\) қосу таңбасын жазамыз.
- \(\displaystyle (1;2)\) аралық үшін \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\)\(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1{,}5-1}{2{,}5-2}<0{\small }\)аралықта \(\displaystyle (1;2){\small }\) азайту таңбасын жазамыз.
- \(\displaystyle (2;+\infty)\) аралық үшін \(\displaystyle x=3{\small :}\)\(\displaystyle f(3)=\frac{3-2}{3-2}>0{\small }\)аралықта \(\displaystyle (2;+\infty){\small }\) қосу таңбасын жазамыз.
Нәтижесінде біз аламыз:
\(\displaystyle \frac{ x-1}{ x-2 }> 0\) теңсіздігінің шешімдері функция оң болатын аралықтарға сәйкес болғандықтан, онда
\(\displaystyle (-\infty;1) \cup(2;+\infty)\) – қажетті шешім.
Жауабы: \(\displaystyle x \in (-\infty;1) \cup(2;+\infty){\small .}\)