Теория: 08 Произведение, частное и простейшие неравенства

Определим, когда \(\displaystyle (5x-30)^2 \) больше нуля. Поскольку \(\displaystyle (5x-30)^2\ge 0 \) для всех \(\displaystyle x{ \small ,} \) то это возможно только при \(\displaystyle (5x-30)^2 \,\cancel{=}\, 0{\small .} \)

Отсюда получаем:

\(\displaystyle (5x-30)^2 \,\cancel{=}\, 0{\small ,} \)

\(\displaystyle 5x-30\,\cancel{=}\,0{ \small ,} \)

\(\displaystyle 5x\,\cancel{=}\,30{ \small ,} \)

\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,6{\small .} \)

Если теперь \(\displaystyle (5x-30)^2>0{ \small ,} \) то этот множитель не влияет на знак в произведении \(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2{\small .} \)

Поэтому, чтобы выполнялось неравенство

\(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2< 0{ \small ,}\)

нужно, чтобы выполнялось неравенство

\(\displaystyle -7+x< 0{\small .} \)

Решая получившееся неравенство, получаем

\(\displaystyle x< 7{\small .} \)

Учитывая еще, что \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,6{ \small ,} \) получаем:

\(\displaystyle x\in (-\infty;6)\cup (6;7){\small .} \)

Определим, когда \(\displaystyle (5x-30)^2=0{ \small :} \)

\(\displaystyle (5x-30)^2=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle 5x-30=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle 5x=30{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=6{\small .} \)

Если теперь \(\displaystyle (5x-30)^2=0{ \small ,} \) то произведение \(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2\) обращается в ноль.

Тогда неравенство \(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2<0 \) преобразовывается в неравенство

\(\displaystyle 0<0{ \small .}\)

Это неверное неравенство. Следовательно, все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) обращающие выражение  \(\displaystyle (5x-30)^2 \) в ноль, не являются решениями исходного неравенства.

Значит, 

\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,6{\small .} \)