Теория: 08 Произведение, частное и простейшие неравенства

Так как \(\displaystyle (x-1)^2\ge 0\) и \(\displaystyle (2x-14)^2\ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то

\(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2\ge 0 \) для любого числа \(\displaystyle x{\small .}\)

Это можно переписать, что для любого числа \(\displaystyle x\) либо \(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2>0{ \small ,}\) либо \(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2=0{ \small .}\)

Рассмотрим каждый случай:

• те \(\displaystyle x {\small ,}\) для которых \(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2>0{ \small ,}\) не являются решениями неравенства \(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2\le 0{ \small ,}\)
• те \(\displaystyle x{ \small ,}\) для которых \(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2=0{ \small ,}\)  являются решениями неравенства \(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2\le 0{ \small .}\)

Решим уравнение \(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2=0{ \small :}\)

\(\displaystyle (x-1)^2(2x-14)^2=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle (x-1)^2=0\) или \(\displaystyle (2x-14)^2=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x-1=0\) или \(\displaystyle 2x-14=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=1\) или \(\displaystyle x=7{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in \{1\}\cup \{7\}{\small .} \)