Skip to main content

Теория: 02 Частное и линейные неравенства

Задание

Решите рациональное неравенство:

\(\displaystyle \frac{x-3}{x}\ge 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Запишем неравенство \(\displaystyle \frac{x-3}{x}\ge 0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle \frac{x-3}{x}\ge 0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x-3\ge 0{ \small ,}\, x> 0\) – числитель неотрицателен, знаменатель положителен;
  • либо \(\displaystyle x-3\le 0{ \small ,}\, x< 0\) – числитель неположителен, знаменатель отрицателен.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\ge 0{ \small ,}\\x &> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\le 0{ \small ,}\\x&< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 3{ \small ,}\\x&> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 3{ \small ,}\\x&< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 3{ \small ,}\\ x &>0 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\ge 3\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x>0\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle 3\) и больше \(\displaystyle 0{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет множеством решений исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in [3;+\infty){\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\le 3{ \small ,}\\ x &<0{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\le 3\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x<0\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше либо равна \(\displaystyle 3\) и меньше \(\displaystyle 0{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет множеством решений исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;0){\small .} \)


Объединяя полученные решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in [3;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;0) \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;0)\cup [3;+\infty){\small .} \)