Каким должно быть число \(\displaystyle x\), чтобы \(\displaystyle x \) вместе с числами \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 8\) образовывало геометрическую прогрессию в некотором порядке? Если таких вариантов несколько – запишите в ответ \(\displaystyle d\) сумму различных \(\displaystyle x{\small .} \)
В зависимости от положения \(\displaystyle x \) в прогрессии возможны три случая:
- прогрессия \(\displaystyle x{ \small ,}\,2{ \small ,}\,8{\small ; } \)
- прогрессия \(\displaystyle 2{ \small ,}\,x{\small , }\,8{ \small ;} \)
- прогрессия \(\displaystyle 2{ \small ,}\,8{ \small ,}\,x{\small . } \)
Рассмотрим по порядку эти случаи, найдя в каждом из них значение \(\displaystyle x{\small .} \)
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=x{ \small ,}\,b_2=2 \) и \(\displaystyle b_3=8 \)
Найдем \(\displaystyle q{ \small ,} \) разделив \(\displaystyle b_3 \) на \(\displaystyle b_2{\small : } \)
\(\displaystyle q= \frac{ 8}{ 2 }=4{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle b_1=\frac{ b_2}{ q } \) и \(\displaystyle b_1=\frac{ 2}{ 4 }=\frac{ 1}{ 2 } {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_1=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 2 } {\small .} \)
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=2{ \small ,}\,b_2=x\) и \(\displaystyle b_3=8 \)
Найдем \(\displaystyle q{ \small .} \) Так как \(\displaystyle b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,} \) то получаем:
\(\displaystyle 8=2\cdot q^2{ \small ,} \)
\(\displaystyle q^2=4{ \small ,} \)
\(\displaystyle q=2 \) или \(\displaystyle q=-2{\small .} \)
Если \(\displaystyle q=2{ \small ,} \) то
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q\) и \(\displaystyle b_2=2\cdot 2=4{\small .} \)
Если же \(\displaystyle q=-2{ \small ,} \) то
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q\) и \(\displaystyle b_2=2\cdot (-2)=-4{\small .} \)
Поскольку \(\displaystyle b_2=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=4\) или \(\displaystyle x=-4{\small .} \)
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=2{ \small ,}\,b_2=8\) и \(\displaystyle b_3=x\)
Найдем \(\displaystyle q{ \small ,} \) разделив \(\displaystyle b_2 \) на \(\displaystyle b_1{\small : } \)
\(\displaystyle q= \frac{ 8}{ 2 }=4{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle b_3=b_2\cdot q \) и \(\displaystyle b_3=8\cdot 4=32 {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_3=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=32 {\small .} \)
Таким образом, \(\displaystyle x \) может быть равен \(\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }{ \small ,}\,4{ \small ,}\,-4 \) или \(\displaystyle 32{\small .} \)
В ответ запишем сумму различных найденных решений:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }+4+(-4)+32=32{,}5{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 32{,}5{\small .} \)
В случае, если \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 8\) в прогрессии идут в другом порядке, получаем те же значения \(\displaystyle x{\small :}\)
- в прогрессии \(\displaystyle x{ \small ,}\,8{ \small ,}\,2\) получится \(\displaystyle x=32 {\small ;} \)
- в прогрессии \(\displaystyle 8{ \small ,}\,x{\small , }\,2 \) получится \(\displaystyle x=4 \) или \(\displaystyle x=-4{\small ;} \)
- в прогрессии \(\displaystyle 8{ \small ,}\,2{ \small ,}\,x \) получится \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 2 }{\small .} \)