Сравните числа:
\(\displaystyle \sqrt{15}\) \(\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{5}\)
Сравнение положительных иррациональных чисел
Для положительных числе \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) верно, что
\(\displaystyle a<b\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
Сравним:
\(\displaystyle \sqrt{15}\,\, \color{red}{?}\,\, \sqrt{2}+\sqrt{5}{\small .}\)
Возведем каждое из чисел в квадрат:
\(\displaystyle \begin{aligned} (\sqrt{15})^2\,\, &\color{red}{?}\,\, (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2{\small ; }\\ 15\,\, &\color{red}{?}\,\, 2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}+5{\small ; }\\ 15\,\, &\color{red}{?}\,\, \color{green}{ 2}+2\cdot \sqrt{\color{blue}{ 2}\cdot \color{blue}{ 5}}+\color{green}{ 5}{\small ; }\\ 15\,\, &\color{red}{?}\,\, 7+2\sqrt{10}{\small . } \end{aligned}\)
Вычтем \(\displaystyle 7\) из обеих частей неравенства:
\(\displaystyle \begin{aligned} 15-\color{green}{7}\,\, &\color{red}{?}\,\, 7+2\sqrt{10}-\color{green}{7}{\small ; }\\ 8\,\, &\color{red}{?}\,\, 2\sqrt{10}{\small . } \end{aligned}\)
Снова возведем обе части неравенства в квадрат:
\(\displaystyle \begin{aligned} 8^2\,\, &\color{red}{?}\,\, (2\sqrt{10})^2{\small ; }\\ 64\,\, &\color{red}{?}\,\, 4\cdot 10{\small ; }\\ 64\,\, &\color{red}{?}\,\, 40{\small . } \end{aligned}\)
Так как
\(\displaystyle 64\, >\, 40{\small , }\)
то
\(\displaystyle \sqrt{15}\, \color{red}{ >}\, \sqrt{2}+\sqrt{5}{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{15}\, >\, \sqrt{2}+\sqrt{5}{\small . }\)