Сравните числа:
\(\displaystyle 2\sqrt{6}\)\(\displaystyle 3 \sqrt{5}\)
Сравним \(\displaystyle 2\sqrt{6}\) и \(\displaystyle 3 \sqrt{5}{\small . }\) Запишем возможное для них неравенство в виде
\(\displaystyle 2\sqrt{ 6} \color{green}{ \vee} 3\sqrt{ 5} {\small , } \)
где \(\displaystyle \color{green}{ \vee} \) обозначает некоторый знак неравенства (который надо найти).
Избавимся от корней в неравенстве, возведя обе его части в квадрат. Так как \(\displaystyle 2\sqrt{ 6} \ge 0 \) и \(\displaystyle 3\sqrt{ 5} \ge 0{\small , } \) то это можно сделать. Получаем:
\(\displaystyle 2\sqrt{ 6} \color{green}{ \vee} 3\sqrt{ 5} {\small , } \)
\(\displaystyle \left(2\sqrt{ 6}\right)^2 \color{green}{ \vee} \left(3\sqrt{ 5}\right)^2 {\small . } \)
Воспользовавшись свойством степеней, раскроем скобки в обеих частях неравенства:
\(\displaystyle 2^2\cdot \left(\sqrt{ 6}\right)^2 \color{green}{ \vee} 3^2\cdot \left(\sqrt{ 5}\right)^2 {\small , } \)
\(\displaystyle 4\cdot 6 \color{green}{ \vee} 9\cdot 5{\small ; } \)
\(\displaystyle 24 \color{green}{ \vee}45{\small . } \)
Так как \(\displaystyle 24<45{\small , } \) то \(\displaystyle \color{green}{ \vee} \) обозначал знак \(\displaystyle \color{green}{ <}{\small , } \) то есть
\(\displaystyle 2\sqrt{ 6} \color{green}{ <}3\sqrt{ 5} {\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle 2\sqrt{ 6}<3\sqrt{ 5} {\small . } \)