Skip to main content

Теория: Степень в степени

Задание

Найдите показатель степени для любого ненулевого числа \(\displaystyle q:\)
 

\(\displaystyle \left(q^{\,5}\right)^8 =q\)
Решение

Правило

Cтепень в степени

Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется

\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)

В нашем случае

\(\displaystyle \left(q^{\,5}\right)^8 =q^{\, 5\cdot 8}=q^{\, 40}.\)

Ответ: \(\displaystyle q^{\,40}.\)


Замечание / комментарий

По определению степени:

\(\displaystyle \left(q^{\,5}\right)^{\,8}=\underbrace{q^{\,5} \cdot q^{\,5} \ldots \cdot q^{\,5} }_{\,8 \, раз}.\)

Тогда по правилу умножения степеней получаем:

\(\displaystyle \underbrace{\,q^{\,5} \cdot q^{\,5} \ldots q^{\,5} }_{\,8 \, раз}=q^{ \underbrace{5+5+\ldots+5}_{\,8 \, раз}}=q^{\, 5\cdot 8}=q^{\, 40}.\)

Таким образом, мы получили правило "степень в степени" для нашего случая.