1. Свойство произведения степеней:
Степень в степени
Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется
\(\displaystyle {\bf \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}}.\)
2. Равенство единице:
\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=1}\) для любого положительного числа \(\displaystyle a,\) не равного единице, в том и только в том случае, когда \(\displaystyle {\bf x=0}.\)
3. Равенство степеней:
\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=a^{\,y}}\) для любого положительного числа \(\displaystyle a,\) не равного единице, в том и только в том случае, когда \(\displaystyle {\bf x=y}.\)
1. Свойство произведения степеней.
Степень в степени
Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется
\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)
Доказательство.
Для того чтобы доказать данное правило (формулу), воспользуемся определением степени числа:
\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=\underbrace{a^{\,n}\ldots a^{\,n}}_{m\, раз}=a^{\,\underbrace{n+\ldots+n}_{m\, раз}}=a^{nm}.\)
2. Равенство единице.
\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=1}\) для каждого ненулевого и не равного единице числа \(\displaystyle a\) в том и только в том случае, когда \(\displaystyle {\bf x=0}.\)
Доказательство.
В начале заметим, что любое ненулевое число \(\displaystyle a^{\,0}=1\) (по определению). Мы хотим убедиться, что других возможностей нет.
Так как это верно для любого числа \(\displaystyle a,\) то это будет верно, например, и для \(\displaystyle a=2.\) Заметим, что
\(\displaystyle 2^{\, {\bf 0}}=1,\,\, 2^{\, {\bf 1}}=2,\,\, 2^{\, {\bf 2}}=4,\,\, 2^{\, {\bf 3}}=8,\,\, 2^{\, {\bf 4}}=16,\ldots\)
Из данного ряда следует, что только \(\displaystyle 2^{\,0}=1,\) поэтому единственная возможность \(\displaystyle x=0.\)
3. Равенство степеней.
\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=a^{\,y}}\) для любого ненулевого и не равного единице числа \(\displaystyle a\) в том и только в том случае, когда \(\displaystyle {\bf x=y}.\)
Доказательство.
Разделим обе части равенства \(\displaystyle a^{\,x}=a^{\,y}\) на ненулевое выражение \(\displaystyle a^{\, y}:\)
\(\displaystyle \frac{a^{\,x}}{a^{\,y}}=1,\)
\(\displaystyle a^{\,x-y}=1.\)
Используя п.2 "Равенство единице", получаем:
\(\displaystyle x-y=0.\)
Таким образом, \(\displaystyle x=y.\)