Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle 34,\) а площадь равна \(\displaystyle 60.\) Найдите диагональ этого прямоугольника.
Сначала найдем стороны прямоугольника.
Пусть \(\displaystyle AB=x\) – меньшая сторона прямоугольника, а \(\displaystyle AD=y\) – большая сторона прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle P=2(AB+AD).\) Известно, что \(\displaystyle P=34.\)
Значит,
\(\displaystyle \color{green}{2(x+y)=34}.\)
Площадь треугольника равна \(\displaystyle S=AB\cdot AD.\) Известно, что \(\displaystyle S=60.\)
Значит,
\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot y=60}.\)
Получаем систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{2(x+y)=34}{ \small ,}\\\color{blue}{x\cdot y=60} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle y\) через \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle 2(x+y)=34 \, | :\color{red}{2},\)
\(\displaystyle x+y=17,\)
\(\displaystyle y=17-x.\)
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
\(\displaystyle x\cdot (17-x)=60,\)
\(\displaystyle 17x-x^2=60,\)
\(\displaystyle 17x-x^2-60=0,\)
\(\displaystyle x^2-17x+60=0.\)
Решим квадратное уравнение.
Если \(\displaystyle x=5,\) то \(\displaystyle y=17-x=12.\)
Если \(\displaystyle x=12,\) то \(\displaystyle y=17-x=5.\)
Поскольку \(\displaystyle x\) – меньшая сторона прямоугольника, то \(\displaystyle x=5,\) \(\displaystyle y=12.\)
Получили \(\displaystyle AB=5\) и \(\displaystyle AD=12.\)
Для нахождения диагонали \(\displaystyle AC\) прямоугольника рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC \small{:}\)
Поскольку \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) то \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AC.\)
По теореме Пифагора, \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2.\)
Значит,
\(\displaystyle AC^2=5^2 + 12^2=25+144=169.\)
Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AC=\sqrt {169} =13.\)
Ответ: \(\displaystyle 13{\small .}\)