Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как \(\displaystyle 4:5,\) а другая сторона равна \(\displaystyle 6.\) Найдите площадь прямоугольника.
Пусть \(\displaystyle AB=6\) и \(\displaystyle BC:AC=4:5.\) Это означает, что если мы разделим отрезок \(\displaystyle BC\) на \(\displaystyle 4\) равные части, то отрезок \(\displaystyle AC\) можно разделить на \(\displaystyle 5\) таких же частей.
Обозначим через \(\displaystyle x\) длину одной части. Тогда \(\displaystyle BC=4x,\) а \(\displaystyle AC=5x.\)
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC.\) Поскольку \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) то \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AC.\)
По теореме Пифагора \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle (5x)^2=6^2 + (4x)^2,\)
\(\displaystyle 25x^2=36 + 16x^2,\)
\(\displaystyle 25x^2-16x^2=36,\)
\(\displaystyle 9x^2=36 \, | :\color{red}{9},\)
\(\displaystyle x^2=4.\)
Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle x=2.\)
Тогда \(\displaystyle BC=4x=8.\)
Поскольку площадь прямоугольника вычисляется по формуле \(\displaystyle S=AB\cdot BC,\) то
\(\displaystyle S=6\cdot 8=48.\)
Ответ: \(\displaystyle 48{\small .}\)