Треугольник \(\displaystyle ABC\) вписан в окружность с центром \(\displaystyle O \small,\) причем \(\displaystyle AC=6 \small,\) \(\displaystyle \sin B=0{,}6 \)(см. рис.). Найдите диаметр окружности.
Построим диаметр \(\displaystyle AD \small. \)
Четырехугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность.
По свойству вписанного четырехугольника
\(\displaystyle \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ} \small.\)
Тогда
\(\displaystyle \angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC \small.\)
По формуле привидения
\(\displaystyle \sin \angle D=\sin (\angle ADC)=\sin (180^{\circ}-\angle ABC)=\sin (\angle ABC)=\sin \angle B=0{,}6 \small.\)
Поскольку вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой, то треугольник \(\displaystyle ADC\) прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ADC\)
\(\displaystyle \sin \angle D=\frac{AC}{AD} \small.\)
Тогда
\(\displaystyle AD=\frac{AC}{\sin \angle D}=\frac{6}{0{,}6}=10 \small.\)
Следовательно, диаметр окружности равен \(\displaystyle 10 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 10 {\small .}\)
Изучение связи между тупым углом \(\displaystyle ABC \small,\) стороной \(\displaystyle AC\) и диаметром описанной окружности позволяет получить следующее соотношение:
Связь между стороной треугольника, противоположным углом и радиусом описанной окружности
Если в треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle ABC\) тупой, то
\(\displaystyle \frac{AC}{\sin \angle B}=2R \small,\)
где \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности.