Найдите угол \(\displaystyle ACB \small,\) если его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности в точке \(\displaystyle A \small,\) углы \(\displaystyle AEB\) и \(\displaystyle ABE\) равны соответственно \(\displaystyle 58^\circ\) и \(\displaystyle 28^\circ \) (см. рис.). Ответ дайте в градусах.
Вписанные углы \(\displaystyle \angle AEB\) и \(\displaystyle \angle ABE\) опираются на дуги \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AE \) соответственно.
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle AEB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB} \small,\) \(\displaystyle \angle ABE=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE} \small.\)
Тогда
\(\displaystyle \overset{\smile}{AB}=2\angle AEB=116^{\circ} \small,\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AE}=2\angle ABE=56^{\circ} \small.\)
По теореме об угле между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг, заключённых между ними.
получаем:
\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}-\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}=58^{\circ}-28^{\circ}=30^{\circ} \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 30 {\small .}\)