Через концы \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) дуги окружности с центром \(\displaystyle O\) проведены касательные \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC {\small .}\) Угол \(\displaystyle CAB\) равен \(\displaystyle 32^\circ {\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle AOB {\small .}\) Ответ дайте в градусах.
Пусть дуга \(\displaystyle \overset{\smile}{\color{blue}{AB}} \) стягивается хордой \(\displaystyle {AB} {\small .}\)
По свойству
Угол между касательной и хордой
Величина угла между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине заключенной между ними дуги.
получаем:
\(\displaystyle \angle BAC =\frac{1}{2} \overset{\smile}{\color{blue}{AB}} {\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \overset{\smile}{\color{blue}{AB}} =2 \angle BAC =2\cdot 32=64^{\circ} {\small .} \)
Поскольку дуга \(\displaystyle AB\) меньше полуокружности, то по определению градусной меры дуги окружности
Градусная мера дуги окружности
Градусная мера полуокружности равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle AOB{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle AOB{\small .}\)
получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{\overset{\smile}{AB}}={\angle AOB}{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle {\angle AOB}=\color{blue}{\overset{\smile}{AB}}=64^{\circ }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 64 {\small .}\)