Касательные \(\displaystyle CA\) и \(\displaystyle CB\) к окружности образуют угол \(\displaystyle ACB {\small ,}\) равный \(\displaystyle 122^\circ {\small .}\) Найдите величину меньшей дуги \(\displaystyle AB {\small ,}\) стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
По свойству касательной к окружности
Свойство касательной к окружности
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
получаем:
\(\displaystyle \angle CAO=\angle CBO=90^{\circ}{\small .} \)
Рассмотрим четырехугольник \(\displaystyle CAOB {\small .}\)
Так как сумма углов четырехугольника равна \(\displaystyle 360^{\circ}{\small ,}\) то
\(\displaystyle \angle AOB=360^{\circ}-\angle CAO-\angle CBO-\angle ACO=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-122^{\circ}=58^{\circ} {\small .}\)
По определению градусной меры дуги окружности
Градусная мера дуги окружности
Градусная мера полуокружности равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle AOB{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle AOB{\small .}\)
получаем:
\(\displaystyle {{\overset{\smile}{AB}}=\angle AOB}=58^{\circ}{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 58 {\small .}\)