Теория: 06 Подобные треугольники

Площадь четырёхугольника \(\displaystyle ABMN \) равна разности площадей треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle CNM {\small:}\) \(\displaystyle S_{ABMN}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle CNM} {\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle CNM\) и \(\displaystyle ABC {\small:} \\ \)

Так как точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – середины сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AC\) соответственно, то \(\displaystyle MN\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABC {\small.}\)

 \(\displaystyle MN \parallel AB\) и \(\displaystyle MN=\frac{1}{2}\cdot AB\small. \)

В треугольниках \(\displaystyle CNM\) и \(\displaystyle ABC \) получаем:    \(\displaystyle \frac{CM}{BC}= \frac{CN}{AC}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}\small. \)

Правило

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Если  \(\displaystyle \frac{\color{red}{AB}}{\color{red}{A_1B_1}}=\frac{\color{green}{AC}}{\color{green}{{A_1C_1}}}=\frac{\color{blue}{BC}}{\color{blue}{{B_1C_1}}}{\small,}\) то \(\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1{\small.}\)

В подобных треугольниках коэффициент подобия \(\displaystyle k\) равен отношению сходственных сторон. Значит,

\(\displaystyle k=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2} {\small.} \)

\(\displaystyle \frac{S_{\triangle CNM}}{S_{\triangle ABC}}=k^2 {\small,} \\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{{S_{\triangle CNM}}}{k^2}{\small,} \\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{S_{\triangle CNM}}{{\big(\frac{1}{2}\big)}^2}=\frac{S_{\triangle CNM}}{\frac{1}{4}}=4\cdot S_{\triangle CNM}{\small.} \\ \)

Получаем

\(\displaystyle S_{ABMN}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle CNM} =4\cdot S_{\triangle CNM}- S_{\triangle CNM}=3\cdot S_{\triangle CNM}{\small.}\\ \)

Значит, 

\(\displaystyle S_{\triangle CNM}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABMN}=\frac{1}{3}\cdot 171=57{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 57 {\small.}\)