Skip to main content

Теория: Площадь.

Задание

Боковые стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\)  трапеции \(\displaystyle ABCD\) равны соответственно \(\displaystyle 10\) и \(\displaystyle 26 {\small,}\) а основание \(\displaystyle BC\) равно \(\displaystyle 1{\small.}\) Биссектриса угла \(\displaystyle ADC\) проходит через середину стороны \(\displaystyle AB {\small.}\) Найдите высоту трапеции.

Решение

По условию задачи выполним чертёж.

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция, в которой:

  • \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC=1\) – основания;
  • \(\displaystyle AB=10\) и \(\displaystyle CD=26\) – боковые стороны;
  • точка \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle DM\) – биссектриса угла \(\displaystyle ADC {\small.}\)

 

Требуется найти высоту трапеции \(\displaystyle ABCD {\small.}\)

 

Найдем сначала основание \(\displaystyle AD\) трапеции \(\displaystyle ABCD {\small.}\)

Затем, зная длины всех сторон трапеции, сможем вычислить длину высоты трапеции.

Заметим, что полусумма длин оснований равна длине средней линии трапеции.

Выполним дополнительное построение. 

Пусть  \(\displaystyle MN\) – средняя линия трапеции \(\displaystyle ABCD {\small.}\) Тогда

  • \(\displaystyle MN=\frac{AD+BC}{2} {\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle MN \parallel BC\) и \(\displaystyle MN \parallel AD {\small;}\\ \)
  • точка \(\displaystyle N\) – середина боковой стороны \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle \\ CN=ND=\frac{1}{2} \cdot CD=\frac{1}{2} \cdot 26=13 {\small.}\)

 

Так как \(\displaystyle MN \parallel AD\) и \(\displaystyle DM\) – секущая, то

\(\displaystyle \angle ADM= \angle DMN\)

(накрест лежащие углы).

По условию \(\displaystyle DM\) – биссектриса угла \(\displaystyle ADC {\small,}\) значит

\(\displaystyle \angle ADM= \angle MDN {\small.}\)

 

Получаем

\(\displaystyle \angle DMN= \angle MDN {\small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle DMN {\small.}\)

Углы при стороне \(\displaystyle DM\) треугольника \(\displaystyle DMN\) равны. Следовательно, \(\displaystyle \triangle DNM \) – равнобедренный.

Значит,

\(\displaystyle MN=ND=13 {\small.}\)

 

Получаем

\(\displaystyle MN=\frac{AD+BC}{2} {\small;}\)

\(\displaystyle 13=\frac{AD+1}{2} {\small;}\)

\(\displaystyle 26=AD+1 {\small;}\)

\(\displaystyle AD=25 {\small.}\)

 

Найдем высоту \(\displaystyle BH\) трапеции \(\displaystyle ABCD {\small.}\)

Выполним дополнительные построения:

\(\displaystyle 1{\small.}\) Из точки \(\displaystyle B\) опустим высоту \(\displaystyle BH{\small.}\)

 

\(\displaystyle 2{\small.}\) Построим отрезок \(\displaystyle BK\) параллельно стороне \(\displaystyle CD{\small.}\)

 

 

По рисунку замечаем, что \(\displaystyle BH\) – высота трапеции \(\displaystyle ABCD\) и высота треугольника \(\displaystyle ABK {\small.}\)

Найдём длины сторон треугольника \(\displaystyle ABK {\small.}\) Затем, зная длины сторон треугольника, сможем вычислить его высоту.

 

В четырёхугольнике \(\displaystyle BCDK\) стороны попарно параллельны. Значит,  \(\displaystyle BCDK\) – параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны попарно равны. То есть

\(\displaystyle KD=BC=1 \)  и  \(\displaystyle BK=CD=26 {\small.}\)

 

Длина отрезка  \(\displaystyle AK\) равна разности длин отрезков \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle KD {\small:}\)

\(\displaystyle AK=AD-KD=25-1=24 {\small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABK {\small.}\)

\(\displaystyle AB=10 {\small;}\) \(\displaystyle AK=24{\small;}\)\(\displaystyle BK=26{\small.}\)

Заметим, что

\(\displaystyle 10^2+24^2=100+576=676=26^2 {\small.}\)

То есть

\(\displaystyle AB^2+AK^2=BK^2 {\small.}\)

 

По теореме обратной теореме Пифагора  получаем:

треугольник \(\displaystyle ABK\) – прямоугольный, при этом \(\displaystyle BK\) – гипотенуза, \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AK\) – катеты. То есть

\(\displaystyle AB \perp AK{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle BA\) – это высота треугольника \(\displaystyle ABK {\small.}\) Значит,

\(\displaystyle BH=BA=10 {\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle 10 {\small.}\)