Теориясы: Ауданы.

Есептің шарты бойынша сызбаны орындаймыз.

\(\displaystyle ABC\) – үшбұрыш. \(\displaystyle BE\) – үшбұрыштың медианасы. Демек, \(\displaystyle AE=EC {\small.}\) \(\displaystyle AD\) –  \(\displaystyle A{\small}\) бұрышының биссектрисасы Демек, \(\displaystyle \angle BAD=\angle CAD {\small.}\) \(\displaystyle K\) –  \(\displaystyle BE\) және \(\displaystyle AD{\small}\) қиылысу нүктесі \(\displaystyle AD \perp BE\) және \(\displaystyle AD=12 {\small.}\)

 \(\displaystyle AK{\small}\) кесіндінің ұзындығын табу қажет

\(\displaystyle AK=x {\small}\) болсын, сонда  \(\displaystyle KD=12-x {\small.}\)

Қосымша сызбаны орындайық..

\(\displaystyle BE{\small}\) медианасына параллель \(\displaystyle DL\) кесіндісін салайық

Правило

Фалес теоремасы

Параллель түзулер пропорционалды кесінділерді қималарда кеседі.

\(\displaystyle \color{blue}a \nparallel \color{green}b\) – қималар \(\displaystyle \color{brown}{l_1} \parallel \color{brown}{l_2} \parallel \color{brown}{l_3} \parallel \color{brown}{l_4} \)– параллель түзулер   \(\displaystyle \color{brown}{\frac{\color{blue}{A_1A_2}}{ \color{green}{B_1B_2}}}=\color{brown}{\frac{\color{blue}{A_2A_3}}{ \color{green}{B_2B_3}}}=\color{brown}{\frac{\color{blue}{A_3A_4}}{ \color{green}{B_3B_4}}} \)

төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{AK}{KD}= \frac{AE}{EL} {\small;}\\ \)

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{AE}{EL} {\small.}\)

\(\displaystyle AE=EC=a {\small}\) болсын. Сонда

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{a}{EL} {\small.}\)

 \(\displaystyle a {\small}\) арқылы \(\displaystyle EL\) өрнектейік

 \(\displaystyle BCE{\small}\) үшбұрышын қарастырайық 

Құрылымы бойынша   \(\displaystyle DL \parallel BE {\small.}\) Жалпыланған Фалес теоремасы бойынша төмендегіні аламыз: \(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{BD}{DC}{\small.}\)

Есептің шарты бойынша   \(\displaystyle AD\) –  \(\displaystyle ABC{\small}\) үшбұрышының биссектрисасы

Правило

Үшбұрыштың бұрышының биссектрисасы қарама қарсы қабырғаны іргелес қабырғалардың ұзындығына қатысты бөледі.

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{AB}}{\color{red}{BC}}=\frac{\color{blue}{AD}}{\color{red}{CD}}\)

төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}{\small.} \)

Демек,

\(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{AB}{AC}{\small.}\)

 \(\displaystyle ABE {\small}\) үшбұрышын қарастырайық 

 \(\displaystyle AK\) биссектрисасы \(\displaystyle ABE {\small}\) үшбұрышының биіктігі болғандықтан, онда \(\displaystyle \triangle ABE \) – теңбүйірлі болады.

Демек , \(\displaystyle AB=AE=a {\small.}\) Себебі  \(\displaystyle AC=AE+EC \) және \(\displaystyle AE=EC=a {\small,}\) болғандықтан, онда \(\displaystyle AC=2 \cdot a{\small.}\)

Төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{AB}{AC}= \frac{a}{2 \cdot a}=\frac{1}{2}{\small.}\\ \)

Яғни \(\displaystyle LC=2 \cdot EL {\small.}\) Сурет бойынша   \(\displaystyle EC=EL+LC {\small}\) Сонда \(\displaystyle a=EL+ 2 \cdot EL=3 \cdot EL{\small.}\) Демек, \(\displaystyle EL= \frac{1}{3} \cdot a {\small.}\)

Себебі

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{a}{EL} \)         және           \(\displaystyle \frac{a}{EL}=\frac{\cancel{a}}{\frac{1}{3} \cdot \cancel{a}}=3 {\small}\) болғандықтан,

онда

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= 3 {\small.}\)

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle x=3 \cdot (12-x) {\small;}\)

\(\displaystyle x=36-3x {\small;}\)

\(\displaystyle 4 \cdot x=36 {\small;}\)

\(\displaystyle x=9 {\small.}\)

Демек, \(\displaystyle AK=9 {\small.}\) 

Жауабы: \(\displaystyle 9 {\small.}\)