Решите уравнение:
\(\displaystyle (5x-1)(x+7)(x-1)=(5x-1)(x^{\, 2}+5x-1)\)
\(\displaystyle x_1=\)
Нам дано уравнение \(\displaystyle (5x-1)(x+7)(x-1)=(5x-1)(x^{\, 2}+5x-1){\small . }\)
Перенесем всё в левую часть:
\(\displaystyle (5x-1)(x+7)(x-1)-(5x-1)(x^{\, 2}+5x-1)=0{\small . }\)
Вынесем за скобки общий множитель \(\displaystyle \color{blue}{ (5x-1)}{\small : } \)
\(\displaystyle \color{blue}{ (5x-1)}(x+7)(x-1)-\color{blue}{ (5x-1)}(x^{\, 2}+5x-1)=\color{blue}{ (5x-1)}\big( (x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)\big){\small . }\)
Получили уравнение
\(\displaystyle (5x-1)\big((x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)\big)=0{\small . }\)
Решим его. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно:
\(\displaystyle 5x-1=0\) или \(\displaystyle (x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)=0{\small .}\)
Решим каждое из полученных уравнений.
1. Уравнение \(\displaystyle 5x-1=0{\small . } \)
\(\displaystyle 5x-1=0{\small ; } \)
\(\displaystyle 5x=1{\small ; } \)
\(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 5}{\small . } \)
2. Уравнение \(\displaystyle (x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)=0{\small . } \)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{aligned}(x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)&=x\,(x-1)+7(x-1)-x^{\, 2}-5x+1=\\&=x^{\,2}-x+7x-7-x^{\, 2}-5x+1{\small . }\end{aligned}\)
Приведем подобные:
\(\displaystyle x^{\,2}-x+7x-7-x^{\, 2}-5x+1=x-6{\small . } \)
Получили линейное уравнение:
\(\displaystyle x-6=0{\small , } \)
\(\displaystyle x=6{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle x_1=\frac{ 1}{ 5} {\small , }\) \(\displaystyle x_2=6{\small . } \)