Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle 3x^2-26x+35=0{\small .}\)
Применим обратную теорему Виета.
Обратная теорема Виета
Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[14px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)
Выделим в данном уравнении коэффициенты:
\(\displaystyle 3x^2-26x+35= \color{magenta}{ 3}x^2 \color{green}{ -26}x+\color{blue}{ 35} {\small .}\)
Тогда \(\displaystyle a=\color{magenta}{ 3},\, \color{green}{ b}= \color{green}{ -26}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 35}{\small .}\)
Для применения обратной теоремы Виета нужно, чтобы старший коэффициент был равен единице.
Разделим поэтому обе части уравнения на \(\displaystyle 3{\small : } \)
\(\displaystyle 3x^2-26x+35=0 \,\,| :3{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{3}{3}x^2- \frac{26}{3}x+ \frac{26}{3}= \frac{0}{3}{\small , } \)
\(\displaystyle x^2-\frac{26}{3}x+ \frac{35}{3}=0{\small .} \)
Снова выделим коэффициенты:
\(\displaystyle x^2-\frac{26}{3}x+ \frac{35}{3}=x^2\color{green}{ -\frac{26}{3}}x+ \color{blue}{ \frac{35}{3}}{\small .} \)
Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -\frac{26}{3}}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{35}{3}}{\small .}\)
Представим дробь \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{35}{3}} \) как произведение целого числа и дроби, или двух несократимых дробей:
\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{1} \cdot \color{orange}{\frac{35}{3}}=\color{red}{(-1)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{35}{3}\right)}{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{5} \cdot \color{orange}{\frac{7}{3}}=\color{red}{(-5)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{7}{3}\right)}{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{7} \cdot \color{orange}{\frac{5}{3}}=\color{red}{(-7)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{5}{3}\right)}{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{35} \cdot \color{orange}{\frac{1}{3}}=\color{red}{(-35)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{1}{3}\right)}{\small .} \)
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{1}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{35}{3}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=1+\frac{35}{3}=\frac{38}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{-1}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{35}{3}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=-1-\frac{35}{3}=-\frac{38}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{2}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{7}{3}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=2+\frac{7}{3}=\frac{17}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{-5}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{7}{3}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=-5-\frac{7}{3}=-\frac{22}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{7}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{3}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=7+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}=\color{green}{ -b}{ \small .}\)
Значит, наше предположение верно, и по обратной теореме Виета \(\displaystyle x_1=\color{red}{7}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{3}} \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle 3x^2-26x+35=0{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 7 \) и \(\displaystyle \frac{ 5}{ 3 }{\small .} \)