Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle -4x^2-2(5-3)x+5\cdot 3=0{\small .}\)
Напомним обратную теорему Виета.
Обратная теорема Виета
Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)
Эта теорема применима только для квадратного уравнения со старшим коэффициентом, равным единице.
Преобразуем данное уравнение к этому виду, разделив обе части уравнения на его старший коэффициент:
\(\displaystyle \color{red}{ -4}x^2-2(5-3)x+5\cdot 3=0 \,| : \color{red}{ (-4)}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{\color{red}{ -4}}{ \color{red}{ -4 }}x^2-\frac{ 2(5-3)}{ \color{red}{ -4 }}x+\frac{ 5\cdot 3}{ \color{red}{ -4}}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-\frac{ (5-3)}{-2}x+\frac{ 5\cdot 3}{ -4}=0{ \small ,}\)
Посмотрим на коэффициенты в полученном уравнении :
\(\displaystyle x^2\color{green}{ -\frac{ (5-3)}{-2}}x+\color{blue}{ \frac{ 5\cdot 3}{ -4 }}=0{ \small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -\frac{ (5-3)}{-2}}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 5\cdot 3}{ -4 }}{\small .}\)
Для использования теоремы Виета нужно, чтобы коэффициенты \(\displaystyle \color{green}{ b }\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c }\) были записаны через сумму и произведение одинаковых чисел.
Переписывая \(\displaystyle \color{green}{ b }\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c }{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -\left(-\frac{5}{ 2}+\frac{ 3}{ 2}\right)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \left(-\frac{ 5}{ 2}\right)\cdot \frac{3}{2}}{\small .}\)
Получили числа \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{5}{ 2}}\) и \(\displaystyle \color{red}{ \frac{3}{ 2 }}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ \left(-\frac{5}{ 2}\right)}+\color{red}{ \frac{3}{ 2 }}&=-b{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ \left(-\frac{5}{ 2}\right)}\cdot \color{red}{ \frac{3}{ 2 }}&=c {\small .}\end{aligned}\right. \)
Значит, по обратной теореме Виета \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{5}{ 2}}\) и \(\displaystyle \color{red}{ \frac{ 3}{ 2 }}\) – корни квадратного уравнения
\(\displaystyle -4x^2-2(5-3)x+5\cdot 3=0{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{5}{ 2}\) и \(\displaystyle \frac{ 3}{ 2 }{\small .} \)