Теория: Сложение дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (алгоритм Евклида)

Для того, чтобы найти сумму дробей \(\displaystyle \frac{97}{136}+\frac{47}{255}\), приведем их к наименьшему общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle 136\).

Знаменатель второй дроби равен \(\displaystyle 255\).

Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255\) (см. темы НОК и алгоритм Евклида),

\(\displaystyle НОК(136, 255)=\frac{136\cdot 255}{НОД(136, 255)}\),

где \(\displaystyle НОД(255, 136)=17\).

Вычислим \(\displaystyle НОД(255, 136)\) согласно алгоритму Евклида:

Шаг 1.

1. \(\displaystyle 255=136+119\).

2. \(\displaystyle НОД(136, 255)=НОД(136, 119)\).

3. \(\displaystyle 119 =\not 0\).

Шаг 2.

\(\displaystyle НОД(136, 119)=НОД(119, 136)\).

1. \(\displaystyle 136=119+17\).

2. \(\displaystyle НОД(119,136)=НОД(119, 17)\).

3. \(\displaystyle 17 =\not 0\).

Шаг 3.

\(\displaystyle НОД(119, 17)=НОД(17, 119)\).

1. \(\displaystyle 119=7\cdot 17+0\).

2. \(\displaystyle НОД(17, 119)=НОД(17, 0)=17\).

Теперь мы можем вычислить наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255\):

\(\displaystyle НОК(136, 255)=\frac{136\cdot 255}{НОД(136, 255)}=\frac{34680}{17}=2040\).

Запишем

\(\displaystyle 2040={\bf 15}\cdot 136\),

\(\displaystyle 2040={\bf 8}\cdot 255\).

Тогда

\(\displaystyle \frac{97}{136}=\frac{97\cdot {\bf 15}}{136\cdot {\bf 15}}=\frac{1455}{2040}\)

и

\(\displaystyle \frac{47}{255}=\frac{47\cdot {\bf 8} }{255\cdot {\bf 8}}=\frac{376}{2040}\).

Теперь можно сложить дроби, заменяя каждую дробь на дробь с общим знаменателем,

\(\displaystyle \frac{97}{136}+\frac{47}{255}=\frac{97\cdot 15}{136\cdot 15}+\frac{47\cdot 8}{255\cdot 8}=\frac{1455}{2040}+\frac{376}{2040}=\frac{1455+376}{2040}=\frac{1831}{2040}\).

Ответ: \(\displaystyle \frac{1831}{2040}\).