Найти наибольший общий делитель для чисел \(\displaystyle 2^3\cdot 7^{12}\cdot 11^{5}\) и \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{7}:\)
| \(\displaystyle \text{НОД}(2^3\cdot 7^{12}\cdot 11^{5}, \,\, 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{7})=\) | \(\displaystyle \cdot\) |
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, разложенных на простые множители, надо:
1) выбрать общие простые множители в наименьших степенях;
2) произведение этих множителей и будет наибольшим общим делителем двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Простые множители числа \(\displaystyle 2^3\cdot 7^{12}\cdot 11^{5}\) – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 11\).
Простые множители числа \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{7}\) – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 13\).
Общие простые множители: \(\displaystyle {\bf 2}\) и \(\displaystyle {\bf 7}\).
2. Выберем общие простые множители в наименьших степенях.
Рассмотрим \(\displaystyle 2^3\) в первом числе и \(\displaystyle 2^7\) во втором числе. Наименьшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 7\) – это \(\displaystyle {\bf 3}\), следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^3\).
Рассмотрим \(\displaystyle 7^{12}\) в первом числе и \(\displaystyle 7^{10}\) во втором числе. Наименьшая степень из \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 10\) – это \(\displaystyle {\bf 10}\), следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 7^{10}\).
3. Таким образом, наибольшим общим делителем исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 2^3 \cdot 7^{10}\).
Ответ: \(\displaystyle {\bf 2^3 \cdot 7^{10}}\).