Найти наибольший общий делитель для чисел \(\displaystyle 2^{3}\cdot 7^{12}\cdot 11^{2} \) и \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{3}\), заполнив показатели степеней:
| \(\displaystyle \text{НОД}(2^{3}\cdot 7^{12}\cdot 11^{2}, 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{3})\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle 2\) |
| \(\displaystyle \cdot\) | \(\displaystyle 7\) |
|
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, разложенных на простые множители, надо:
1) выбрать общие простые множители в наименьших степенях;
2) произведение этих множителей и будет наибольшим общим делителем двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 2^{3}\cdot 7^{12}\cdot 11^{2}\) – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 11\).
Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{3}\) – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 13\).
Общие простые множители: \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 7\).
2. Выберем общие простые множители в наименьших степенях.
Рассмотрим \(\displaystyle 2^{3}\) в первом числе и \(\displaystyle 2^{7}\) во втором числе. Наименьшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 7\) – это \(\displaystyle 3\), следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}{3}}\).
Рассмотрим \(\displaystyle 7^{12}\) в первом числе и \(\displaystyle 7^{10}\) во втором числе. Наименьшая степень из \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 10\) – это \(\displaystyle 10\), следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 7^{{\color{red}{10}}}\).
3. Таким образом, наибольшим общим делителем исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 2^3 \cdot 7^{10}\).
Ответ: \(\displaystyle 2^{\bf {\color{blue}{3}}}\cdot 7^{\bf{\color{red}{10}}}\).