Теориясы: Рационал бөлшектердің ортақ бөлімі

1-шешім.

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-2)}\) және \(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-3)}{\small}\) бөлшектерінің ортақ бөлімін табайық.

\(\displaystyle (x+1)(x-2)\) және \(\displaystyle (x+1)(x-3)\) бөлімдерінің \(\displaystyle (x+1){\small}\) ортақ көбейткіші бар.

Онда, ортақ бөлімін ортақ көбейткішке бөлінген бөлімдердің көбейтіндісі ретінде алуға болады:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{(x+1)(x-2)(x+1)(x-3)}{(x+1)}&=\frac{(x+1)(x-2)\cancel{(x+1)}(x-3)}{\cancel{(x+1)}}=\\[10px]&=(x+1)(x-2)(x-3){\small .}\end{aligned}\)

 Бөлшектерді \(\displaystyle (x+1)(x-2)(x-3){\small}\) бөліміне келтіреміз:

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-2)}=\frac{\color{blue}{(x-3)}\cdot 1}{(x+1)(x-2)\color{blue}{(x-3)}}=\frac{(x-3)}{(x+1)(x-2)(x-3)}{\small ,}\)

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-3)}=\frac{\color{green}{(x-2)}\cdot 1}{(x+1)\color{green}{(x-2)}(x-3)}=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)(x-3)}{\small .}\)

2-шешім.

 \(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-2)}\) және \(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-3)}{\small}\) бөлшектерінің ортақ бөлімін табайық. 

ең кіші дәрежедегі көбейткіштердің көбейтіндісі ретінде алуға болады:

\(\displaystyle (x+1)(x-2)\) және \(\displaystyle (x+1)(x-3)\small\) -дан алынған

Аламыз:

\(\displaystyle (x+1)^{\color{blue}{ 1}}(x-2)^{\color{blue}{ 1}}\) және \(\displaystyle (x+1)^{\color{green}{ 1}}(x-3)^{\color{green}{ 1}}\) \(\displaystyle \color{red}{ \rightarrow}\) \(\displaystyle (x+1)^{\color{blue}{ 1}}(x-2)^{\color{blue}{ 1}}(x-3)^{\color{green}{ 1}}\)

Демек, \(\displaystyle (x+1)(x-2)(x-3){\small}\) -ке тең ортақ бөлімін алдық.

Бөлшектерді \(\displaystyle (x+1)(x-2)(x-3){\small }\) бөліміне келтіреміз:

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-2)}=\frac{\color{blue}{(x-3)}\cdot 1}{(x+1)(x-2)\color{blue}{(x-3)}}=\frac{(x-3)}{(x+1)(x-2)(x-3)}{\small ,}\)

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-3)}=\frac{\color{green}{(x-2)}\cdot 1}{(x+1)\color{green}{(x-2)}(x-3)}=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)(x-3)}{\small .}\)