"Свойство транзитивности"
Если для чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b}\) и \(\displaystyle c\) верно, что
\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{green}{b}<c{\small ,}\)
то
\(\displaystyle \color{blue}{a}<c\)
Геометрическая интерпретация.
Точка с координатой \(\displaystyle \color{green}{b}\) лежит правее точки с координатой \(\displaystyle \color{blue}{a}\) и точка с координатой \(\displaystyle c\) лежит правее точки с координатой \(\displaystyle \color{green}{b}{\small .}\) Тогда точка с координатой \(\displaystyle c\) лежит правее точки с координатой \(\displaystyle \color{blue}{a}\,{\small :}\)
Доказательство.
Так как \(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}{\small ,}\) то \(\displaystyle \color{green}{b}-\color{blue}{a}>0{\small .}\) Так как \(\displaystyle \color{green}{b}<c{\small ,}\) то \(\displaystyle c-\color{green}{b}>0{\small .}\)
Сумма двух положительных чисел – положительное число. Поэтому
\(\displaystyle (c-\color{green}{b}\,)+(\color{green}{b}-\color{blue}{a}\,)>0{\small .}\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(\displaystyle c-\color{green}{b}+\color{green}{b}-\color{blue}{a}>0{\small .}\)
Сокращая \(\displaystyle \color{green}{b}{\small , }\) получаем
\(\displaystyle c-\color{blue}{a}>0{\small ,}\)
то есть
\(\displaystyle c>\color{blue}{a}\) или \(\displaystyle \color{blue}{a}<c{\small .}\)